专题1 运用数形结合思想解题 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

专题1 运用数形结合思想解题 考向一 解决不等式问题 【典例精讲】 例1.(2023·安徽省期末)若不等式在内恒成立，则实数m的取值范围为__________. 【拓展提升】 练1-1(2023·甘肃省期末)若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为          ． 练1-2(2023·江苏省联考) 用表示a､两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则m的最大值是__________. 考向二 解决函数零点与方程根问题 【典例精讲】 例2.(2023·河北省期末)设函数关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1(2023·湖南省联考)已知函数，则函数的零点个数是(    ) A. B. C. D. 练2-2(2023·江西省期中)若方程在上的根从小到大依次为，则(    ) A. B. C. D. 考向三 解决最值问题 【典例精讲】 例3.( 2023·重庆市联考)已知实数、满足，则的取值范围是          ． 【拓展提升】 练3-1(2023·浙江省模拟)已知点是边长为的菱形内一动点包括边界，，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 练3-2(2023·北京市模拟)已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球球面上一动点，则到平面的距离的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案解析】 例1.解：由，得， 在同一坐标系中作和的草图，如图所示： 要使在内恒成立，只要在内的图象在的上方， 于是 时， 只要时，， ，即 又， 即实数m的取值范围是 练1-1．解：不等式在上恒成立， 即在上恒成立，可得， 作出函数与的图象，如图所示， 要使不等式在上恒成立， 则，解得， 即实数的取值范围为． 故答案为． 练1-2．解：， 当时，；当时，；当时， 由，， ，图像如图所示， 可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则，即， 故m的最大值是 故答案为： 例2.解：因为   可画函数图象如下所示： 因为， ，或， 要使方程恰有个不同的实数根，则有个不同的实数根， 即函数与有个交点，由图可得，即． 练2-1解：令， 当时，，则，所以函数在上单调递增， 又，， 由零点存在定理可知，存在，使得． 当时，，令，得，， 作出函数，直线、、的图象，如图所示： 由图象可知，直线与函数的图象有两个交点， 直线与函数的图象有两个交点， 直线与的图象仅有一个交点， 综上所述：函数的零点个数为． 故选：． 练2-2解：根据题意，，，，，是与在上图象交点横坐标， 在同一直角坐标系下画出两个函数的图象如下所示： 数形结合可知，两个函数在区间上共有个交点，故 对函数，令，，解得，， 则在区间上，的对称轴分别为，，，， 则，，，， 上述等式累加可得：． 故选A． 例3.解：设点为圆上的任意一点， 则到直线的距离，则， ， 设圆与直线相切，则，解得， 的最小值为，最大值为， ， 故答案为． 练3-1解：在菱形中，因为边长为，，所以，且， 如图，过作垂直于于，过作垂直于于， 因为点是边长为的菱形内一动点包括边界，所以由平面向量数量积的几何意义，有 ， 所以当点在点处时最大为，即最大， 此时， 所以的最大值为， 故选：． 练3-2解：三棱锥，满足两两垂直， 且， 如图是棱长为的正方体上具有公共顶点的三条棱， 以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 三棱锥外接球就是棱长为的正方体的外接球， 是三棱锥外接球球面上一动点， 由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时， 点到平面的距离最大， 点到平面的距离的最大值为故选C 学科网（北京）股份有限公司 $$