夯基专题7 三角恒等变换 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

夯基专题7 三角恒等变换 【核心知识】考向一 和差角公式 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （）； （6） （）． 强调：1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)的多种变形等． 2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用． 【典例精讲】 例1. (2023·广东省江门市·联考) 已知，，且，，则(    ) A. B. C. D. 或 例2. (2023·江苏省南京市·期末考试) (多选) 已知，则(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1.(2023·福建省福州市月考) 已知角，，则          ． 练1-2. (2023·辽宁省沈阳市·模拟题) 如图，函数 的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则           ． 考向二 倍角公式 【核心知识】 二倍角的正弦、余弦和正切公式 （1） （2） 升幂公式 降幂公式 ，． （3）． （4）变形式：,, 【典例精讲】 例3. (2023·江苏省南京市·联考题) 已知，且，则(    ) A. B. C. D. 例4.(2023·福建省龙岩市·模拟题) 水滴型潜艇的线型特点是首部呈圆钝的纺锤形，潜艇的横剖面几乎都为圆截面，艇身从中部开始向后逐渐变细，尾部呈尖尾状，小刘利用几何作图软件画出了水滴的形状如图，由线段和优弧围成，其中连线竖直、与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1. (2023·广东省佛山市·月考试卷) (多选) 已知，若，，则 (    ) A. B. C. D. 练2-2. (2023·山东省临沂市·月考试卷) 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，为的中点，点在以为直径的半圆上已知以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为，，则          ． 考向三 合一变形（辅助角公式） 【核心知识】 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中． 常见形式有：；; . 【典例精讲】 例5. (2023·湖北省重点中学·联考题) 若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 例6. (2023·湖北省黄冈市期中) 已知函数的定义域为，当时，的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练3-1. (2023·广东省中山市月考) 在中，，则的值为(    ) A. B. C. D. 练3-2. (2023·湖南省张家界市·模拟题) 已知为锐角，，则           ． 考向四 三角恒等变换技巧 【核心知识】 三角恒等变换主要有以下四变: （1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其方法通常是“配凑” （2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有切化弦、弦化切、正余弦互化等 （3）变幂：通过“升幂与降幂”，把三角函数式的各项变成同次，目的是有利于应用公式 （4）变式：根据式子的结构特征变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其方法有:常值代换、配方法等. （1）拆角、拼角技巧： ；α＝（α＋β）－β； ；． （2）①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍； ②；③ 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的． 【典例精讲】 例7.(2023·广东省中山市·月考试卷)(    ) A. B. C. D. 例8. (2023·江苏省南京市·模拟题) (多选)已知，且，，是在内的三个不同零点，则(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练4-1. (2023·江苏省泰州市月考) (多选)已知，，，则(    ) A. B. C. D. 练4-2. (2023·安徽省蚌埠市月考) 求值：   【答案解析】 例1.解：因为，， 所以，则， 因为，，所以， 又因为，所以， 所以， 所以 ． 故选：． 例2.解：由，得，即，选项正确，选项错误； ，两边同时平方，得， 即，化简得， 由，则，，所以，选项正确，选项错误． 故选： 练1-1.解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因