专题7 空间想象能力 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

能力专题7 空间想象能力 考向一 空间几何体中的截面问题 【典例精讲】 例1. (2023 湖南 模拟) (多选)如图,长方体中,,点为的中点,过作长方体的截面交棱于点,则( ) A. 不存在点,使得 B. 当截面为平行四边形时,截面面积的最大值为 C. 截面可能是六边形 D. 随的增大,直线与截面所成角的大小先增大再减小 【拓展提升】 练1-1.(2023 广东省 月考试卷)如图所示的一块长方体木料中,已知,设为底面的中心,且,则该长方体中经过点的截面面积的最小值为 . 练1-2. (2023 安徽省 月考) 在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示,,,两两垂直,单位:,小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开,使截面平行于直线和,则该截面面积单位:的最大值是( ) A. B. C. D. 考向二 几何体折叠问题 【典例精讲】 例2. (2023 全国 联考) (多选)为弘扬中华民族优秀传统文化,某学校组织了诵经典,获新知的演讲比赛,本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成,如图,已知球的体积为,托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成,如图则下列结论正确的是( ) A. 经过三个顶点的球的截面圆的面积为 B. 异面直线与所成的角的余弦值为 C. 多面体的体积为 D. 球面上的点离球托底面的最小距离为 【拓展提升】 练2-1. (2023 全国 模拟) (多选)平行四边形,点分别在上,且,点是上的动点,和中点分别是和,把四边形沿折起,则( ) A. 直线和直线是异面直线 B. 直线和直线是异面直线 C. 存在点,使得直线面 D. 存在点,使得平面面 练2-2. (2023 湖北省 模拟) (多选)在通用技术课上,某小组将一个直三棱柱展开得到平面图如图所示,,,为的中点,为的中点,则在原直三棱柱中,下列说法正确的是( ) A. ,,,四点共面 B. C. 几何体和直三棱柱的体积之比为 D. 当时,与平面所成的角为 考向三 动态问题 【典例精讲】 例3. (2023 湖南省 期末考试)(多选)九章算术商功中记载:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也,合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣”,文中“堑堵”是指底面是直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;文中“阳马”是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥;文中“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的三棱锥,如图所示,在堑堵中,若,则下列说法中正确的有( ) A. 四棱锥为阳马,三棱锥为鳖臑 B. 点 在线段上运动,则的最小值为 C. , 分别为的中点,过点,, 的平面截三棱柱,则该截面周长为 D. 点 在侧面及其边界上运动,点 在棱 上运动,若直线, 是共面直线,则点的轨迹长度为 【拓展提升】 练3-1.(2022 广东省 模拟) (多选)在棱长为的正方体中,点为棱的中点,点是正方形内一动点含边界,则下列说法中正确的是( ) A. 直线与直线夹角为 B. 平面截正方体所得截面的面积为 C. 若则动点的轨迹长度为 D. 若平面,则动点的轨迹长度为 练3-2.(2023 湖北省 模拟题)如图,在三棱锥中,二面角是直二面角,,且,,为上一点,且平面,分别为棱,上的动点,且. 证明:; 若平面与平面所成角的余弦值为,求的值. 【答案解析】 例1.解:建立如图所示的空间直角坐标系, 设,,, 设平面的法向量为, ,令,, 对于,假设存在点使得, 与共线,,即 于是,此方程组无解,所以对 对于,,, 当时,截面面积为,所以错 对于因为截面与每面至多有一条交线,截面不能与六个面同时相交,所以错 对于,直线与截面所成角的正弦值为 , 再结合正弦函数的单调性知直线与截面所成角的大小先增大再减小,所以对 故选:. 练1-1.解:连接并延长,交于点,过点作平行于交于点, 连接,则平行四边形即为该长方体中经过点的截面, 以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系, 则,,,则, 故点到直线的距离为 , 则截面面积为 , 因为,所以当时,取得最小值, 故截面面积最小值为 . 故答案为:. 练1-2. 解:根据题意,在平面内,过点作分别交于, 在平面内,过作交于, 在平面内,过作交于,连接,作图如下, 因为,则, 所以∽,设其相似比为, 则, 因为,所以在中,, 因为,所以,即, 因为,则, 所以∽,即, 因为, 所以,即, 同理∽,即, 因为,平面,平面, 所以平面, 因为,所以平面,平面,又平面, 所以, 因为 所以 因为,所以∽,所以, 因为,所以, 因为,所以, 所以四边形是矩形,即, 所以,由二次函数的性质知,当时,有最大值. 故选:. 例2.解:因为托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成, 所以连接、和