专题8 运算求解能力 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

专题8 运算求解能力 考向一 定义、公理公式及其变形中的运算技巧 【典例精讲】 例1. (2023·广东揭阳市·联考) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点当直线与轴垂直时，． 求椭圆的标准方程． 求内切圆半径的最大值． 【拓展提升】 练1-1.(2023·天津市市辖区·期末考试)已知，，则(    ) A. B. C. D. 练1-2. (2023·浙江省·联考题)已知且，则的最小值为 (    ) B. C. D. 练1-3.(2023·江西省宜春市·月考试卷)已知椭圆：的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，若为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆的方程为(    ) A. B. C. D. 【典例精讲】考向二 建系解决几何问题 例2. (2023·湖北·联考) 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． 求； 如图，圆是的外接圆，延长交于点，过圆心作交于点，且求的长． 【拓展提升】 练2-1. (2023·湖北·月考) 在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为(    )   A. B. C. D. 练2-2. (2023·全国·联考) 在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为(    ) A. B. C. D. 练2-3. (2023·湖北襄阳市·月考) 在平面内，定点满足，，动点，满足，，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案解析】 例1.解：由直线垂直轴时，， 可设，， 由，解得， 所以椭圆的标准方程为； 法：设，，直线的方程为， 联立，消去并化简得， 由韦达定理得， 即有， 所以， 而 ， 当且仅当，即时等号成立， 又因为， 所以内切圆半径的最大值为． 法：当直线的斜率不存在时，， 又因为， 所以这时， 当直线的斜率存在时，设，，， 把代入得，， 得， 由韦达定理得， ， 点到直线的距离为， = ， 当且仅当即时等号成立， 由 得解得． 又因为，所以内切圆半径的最大值为．  练1-1.解：因为，， 所以， 所以 ． 故选C． 练1-2. 解：由题意可得，令，， 得， ， 当且仅当时，取等号故选B． 练1-3.解：设，，则，， 两式相减可得， ， 为线段的中点， ，， ， 又，，， 由椭圆的左焦点在直线上， ，即，， 由可得，， 椭圆的方程为， 故选D． 例2.解：因为，由正弦定理，得， 由，得， 由，得，所以，由，得． 由正弦定理，得． 由，得． 解法一：由，得． 在中，由余弦定理，得，所以． 由正弦定理，得， 则， ，， 所以． 解法二：以为原点，以，方向分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系， 则，由可知． 设点的坐标为，则，． 因为，所以，解得所以．  练2-1. 解：设，则，， 记最大半圆的圆心为，的中点为，的中点为， 两个内切圆的圆心分别为，． 建立如图所示的坐标系， ，，，， 设，， 则，得，所以， 由圆与圆内切，得，解得， 同理，得，所以， 由圆与圆内切，得，解得， 所以  ， 故选B． 练2-2.解：以为坐标原点，，正方向为，轴，建立平面直角坐标系， 不妨设正三角形的边长为，则，，， 设，则，， ，， ，即 点轨迹为：， 当时，， 当时，令，则表示与连线的斜率， 设直线与圆相切， 则圆心到直线距离，解得：或， ， 则当时，取得最小值， 综上所述，最小值为． 故选D． 练2-3.解：由，可得为的外心， 又， 可得，， 即， 即有，，可得为的垂心， 则为的中心，即为正三角形． 由，即有， 解得，的边长为， 以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 可得，，， 由，可设，， 由，可得为的中点，即有， 则 ， 当，即时，取得最大值，且为． 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $$