专题16 取对数法讲义-2024届高三数学二轮专题复习

专题16 取对数法 考向一 解指数方程 【典例精讲】 例1.(2023·辽宁省·模拟题)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式若关于的方程和关于的方程可化为同构方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1(2023·湖北省·月考试卷)对任意的，不等式恒成立，则的范围为          ． 练1-2(2023·北京市·月考试卷)著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过 (    ) A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 考向二 构造数列 【典例精讲】 例2.(2023·湖南省·联考题)已知数列，，则(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1 (2023·江苏省扬州市·模拟题)若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． 证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； 设，，定义且记，求数列的前项和．   练2-2(2023·河北省·月考试卷)已知数列，，． 求； 求． 考向三 解复杂不等式 【典例精讲】 例3.(2023·湖南省岳阳市·模拟题)已知正实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【拓展提升】 练3-1(2023·福建省·月考试卷)（多选）已知实数，满足：且，则(    ) A. B. C. D. 练3-2(2023·广东省·月考试卷)已知函数为自然对数的底数，当时，函数在点处的切线方程为          若对恒成立，则实数的最大值为          ． 【答案解析】 例1.解：对两边取自然对数，得， 对两边取自然对数，得， 即， 因为方程为两个同构方程，所以，解得：， 设，，则，所以在上单调递增， 所以方程的解只有一个，所以， 所以． 故选A． 练1-1解：由题意得 设，则， 设，则在区间上单调递增， ， 在区间上有且仅有个零点， 设为的零点，即，即， 当时，，故在区间上单调递减； 当时，，故在区间上单调递增， 当且仅当时等号成立， ． 练1-2解：经过天后，“进步”与“落后”的比  ， 所以  ， 两边取以  为底的对数得  ，又  ，  ， 所以  ， 解得  ， 所以大约经过  天后，“进步”是“落后”的  倍． 故选：． 例2.解：由可得，， 根据递推公式可得出，，，进而可知，对任意的，， 在等式两边取对数可得， 令，则，可得，则， 所以，数列是等比数列，且首项为，公比为， ， 即   故选B． 练2-1 解：点在函数的图象上，， ，是“平方递推数列”． 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以为首项，为公比的等比数列． 由知， 由数列、的通项公式得， 当时，当时，． 又由，得 当且时， 当且时， ， 综上，  练2-2解：，， 则，即， 也就是，即， ． 设， 则， ， 可得：， ．  例3.解：对于，取，，选项错误． 对于，由题知，，取， 得，此时，选项错误． 对于，不妨取，，且， ，此时，选项错误． 对于，由题知，假设， 两边取对数，即证， 由题可知正实数，满足，即证， 构造函数，， 令，，，故在上单调递减， 且，在上大于，在上小于 也即当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故，即，得证，选项正确． 练3-1解：方法一：，则，在单调递增， ，，即，对． 当，时，，，此时，错． 又，，，，对． 令， 令， 故在单调递减， ，，在单调递减， ，， ，对． 方法二：， 由在上单调递增 ，A正确 对于，例如取，，知，错． 对于，，而，，C正确． 对于， 令， 在单调递减， ，D正确． 练3-2解：由题意当时，，， 则，， 所以函数在点处的切线方程为． 因为，，即， 则，令，， 故在上恒成立， 故在上单调递减，故， 两边取对数得，即， 记，则， 当时，，当时，， 故函数在单调递减，在单调递增， 故的最小值是，故， 即实数的最大值是． 学科网（北京）股份有限公司 $$