夯基专题10 等差、等比数列的计算和性质 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

夯基专题10 等差、等比数列的计算和性质 考向一 等差、等比数列的基本运算 【核心知识】 考点一：等差数列的基本运算 等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2. (3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列． (4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列． 强调：等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题． 考点二：等比数列的基本运算 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证． 【典例精讲】 例1. (2023·湖南省岳阳市期中) 已知数列中，，，且是等差数列，则(    ) A. B. C. D. 例2. (2023·天津市市辖区联考) 设是公差的等差数列，如果，那么(    ) A. B. C. D. 例3.(2023·天津市市辖区月考) 已知等比数列的前项和为，则(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1.(2023·湖南省教研联盟·模拟题) 已知数列和均为等差数列，且为定值，若，，，则(    ) A. B. C. D. 练1-2.(2022·江苏省徐州市月考) （多选）已知等比数列中，满足，公比，则(    ) A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等差数列 练1-3.(2023·浙江省宁波市·期末考试) （多选）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为的等差数列考向二 等差数列的性质 【核心知识】 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (6)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. ③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． ④若数列{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn, Tn ,则. 强调：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 【典例精讲】 例4. (2023·湖南省衡阳市模拟)已知等差数列和的前项和分别为和，且，则(    ) A. B. C. D. 例5.(2023·湖北省名校·模拟题) 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1. (2023·湖北省名校·模拟题) 已知等差数列，的前项和分别为，，若对于任意的自然数，都有，则(    ) A. B. C. D. 练2-2. (2023·湖南省岳阳市·模拟题) （多选）设正项等差数列满足，则(    ) A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【核心知识】考向三 等比数列的性质 1.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn-m(n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 2.等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 【典例精讲】 例6. (2023·湖北省黄冈市月考) 已知等比数列满足：，，则的值为(    ) A. B. C. D. 例7. (2021·湖北省黄冈市·模拟题) 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则数列的前项和为，则：(    ) A. B. C.