夯基专题15 空间角与空间距离讲义-2024届高三数学二轮专题复习

夯基专题15 空间角与空间距离 【核心知识】考向一 空间角 1.异面直线所成的角 定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． 2.直线与平面所成的角 平面的一条与平面交于点,于点,即为直线在平面上的射影，直线与其投影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角. 3.二面角 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的,叫做二面角的平面角.平面角为直角的二面角为直二面角. 几何法求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，求空间角的计算步骤：一作、二证、三计算.求异面直线所成的角，常用平移转化，求直线与平面所成的角，常用射影转化法。二面角的平面角的作法有三种，即定义法、垂线法、垂面法.向量法求解时通常借助直线方向向量与平面法向量进行求解. 【典例精讲】 例1.(2023·辽宁省阜新市·模拟题) 中国古代数学著作九章算术中记载了一种被称为“曲池”的几何体该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分在如图所示的“曲池”中，平面，记弧、弧的长度分别为，，已知，，为弧的中点． 证明：． 若，求直线与平面所成角的正弦值． 例2(2023·安徽省·模拟题·多选)在棱长为的正方体中，下列结论正确的是 (    ) A. 异面直线与所成角的为 B. 异面直线与所成角的为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 二面角的大小为 【拓展提升】 练1-1（2022·浙江省·同步练习）已知四边形满足 ，，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面，为的中点． 求四棱锥的体积； 求平面与平面所成角的正弦值． 练习1-2(2023·福建省厦门市·月考试卷)如图，在圆柱中，，为圆上一定点，为圆上异于点的一动点，，过点作平面的垂线，垂足为点 若，求证：． 若为等边三角形，求二面角的余弦值． 考向二 空间距离 【核心知识】 点到平面的距离与直线到平面的距离 ⑴点到直线的距离 设是直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得. ⑵点到平面的距离 若平面的法向量为，平面内一点为，则平面外一点到平面的距离，如图所示. ⑶线面间距离、面面间距离与线线间、点线间距离常常可以相互转化. 【典例精讲】 例3. （2023·江西省·单元测试·多选）已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是(    ) A. 点到直线的距离是 B. 点到平面的距离为 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到直线的距离为 例4.(2023·福建省·模拟题)如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． 求点到直线的距离； 求直线到直线的距离； 求点到平面的距离； 求直线到平面的距离． 【拓展提升】 练2-1.(2023·河北省沧州市·联考题·多选题)如图，在正四棱锥中，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是(    ) A. B. 直线和所成角的余弦值是 C. 点到直线的距离是 D. 点到平面的距离是 练2-2(2023·山西省太原市·单元测试)如图，棱长为的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是          ． 【答案解析】 例1：解：证明：延长，并相交于点，因为， 所以， 连接，，因为为弧的中点，所以，为正三角形， 故E. 因为平面，，所以平面． 又平面，所以． 因为，所以平面E. 又平面，所以 解：以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，． 设平面的法向量为， 则令，得 ， 故直线与平面所成角的正弦值为． 例2解：对于，在正方体中，， 所以异面直线与所成角为或其补角， 在等腰直角中，，故A正确； 对于，在正方体中，， 所以异面直线与所成角为或其补角， 连接， 在正方体中，平面，平面， 所以， 在中，，， 则，故，故B错误  对于，连接， 在正方体中，平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，，， 则，故C正确； 对于，在正方体中，平面，、平面，所以，， 所以为二面角的平面角， 在等腰直角中，，故D正确． 故选ACD． 练1-1解：取的中点，连接，则， ，是的中点， 为等边三角形，， 又平面平面， 且平面平面，平面， 面， 四棱锥的体积： ． 连接，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，， ，，，， 设面的法向量， 则，令，则， 设面的法向量， 则，令，得， ， 平面与平面所成角的正弦值为： ．  练习1-2解：证明：由圆柱的性质得：  ，  因为  ，平面， 所以  ， 因为  ，所以  ， 因为  ，  ， 所以  ， 又因为  ，平面， 所以  ， 因为  ， 所以  ． 过点  作  垂足为  ，过