重庆市部分学校2023-2024学年高二上学期学业水平阶段质量调研抽测数学试题

2023—2024学年（上）学生学业水平阶段质量调研抽测 高二数学试题 （数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等比数列满足：，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 14 D. 56 2. 已知圆与圆内切，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不能确定 5. 在棱长为4的正方体中，棱上的点满足，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 4 6. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若的中点恰好在轴上，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 对于数列，若满足：，则称为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 正方体棱长为1，则三棱锥内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 如图，点是四面体的棱的中点，点是三角形的重心，点在线段上，且，设，，，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 的取值范围为 C. 过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为3，该直线斜率为 D. 过点A向圆引切线，两条切线的夹角为 11. 定义集合，设中所有元素的和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当为偶数时，中有项 D. 当为奇数时，中元素的最小值为 12. 已知抛物线上存在两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标为 B. C D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中16题第一空2分，第二空3分． 13. 已知直线，则直线的倾斜角为______． 14. 已知分别是双曲线左、右焦点，是双曲线上的一点，且，双曲线的离心率是______． 15. 《莱恩德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道类似这样的题目，请给出答案：把75个面包分给5个人，使每个人所得面包数量成等差数列，且较小的三份之和恰好等于最大的一份，则最大的一份为______． 16. 各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体，满足，则______；此平行六面体的体积为______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知是等差数列的前项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列前项和为，求证：． 18. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆的短轴顶点到长轴顶点的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆左顶点的直线与椭圆相交于另一点，设点为线段的中点，点，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，为等边三角形，，为的中点，为上的一点，且． （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 20. 已知圆过二次函数与坐标轴的所有交点． （1）求圆的标准方程； （2）过点直线与圆交于两点，为坐标原点，且，求． 21. 某市2023年总发电量为12亿度，其中火力发电量10亿度，水力发电量2亿度．为了节约非可再生资源，充分利用可再生资源，从2024年开始，每年水力发电量是上一年的2倍，而火力发电量每年比上