广东省深圳市南山区2023-2024学年高三上学期期末质量监测数学试题

南山区2023-2024学年度第一学期期末质量监测 高三数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑， 4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液. 5.考试结束后，考生上交答题卡. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 3. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为单位向量，且，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 龙洗作为我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故得其名.龙洗的盆体可近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高，盆口直径盆底直径盆内倒满水，若不考虑盆体厚度，则盆内水的体积近似为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A 2 B. C. 4 D. 6 7. 已知函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 已知实数满足，则（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，为真命题的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知甲､乙两组样本数据分别为和，则下列结论正确的为（ ） A. 甲组样本数据的中位数与乙组样本数据的中位数一定相等 B. 甲组样本数据的平均数与乙组样本数据的平均数一定相等 C. 甲组样本数据极差可能会大于乙组样本数据的极差 D. 甲组样本数据的方差一定不大于乙组样本数据的方差 11. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于、两点（其中），与的准线交于点，若，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 为中点 12. 已知数列的首项不为零，前项和为，若，则下列结论正确的为（ ） A. 不可能为常数列 B C. 当时，为等差数列 D. 若为等比数列，则的公比唯一 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若双曲线的焦点在轴上，则实数的取值范围为__________. 14. 已知，则________． 15. 著名数学家欧几里得的《几何原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如.已知，且均为质数，若从中任选2个构成两位数，且，则的十位数字与个位数字不相等的概率为__________. 16. 已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为__________. 四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）若，且，求的面积. 18. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 如图，在三棱台中，平面平面，且，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20. 已知定义在上的函数. （1）若为单调递增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：. 21. 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验. （1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：. 22. 已知动点到直线的距离与它到定点的距离之比为，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）记与轴的上､下半轴的交点依次为，若为上异于的一点，且直线分别交直线于两点，直线交于点（异于）. （i）求直线的斜率之积； （ii）证明：直线恒过定点. 南山区2023-2024学年度第一学期期末质量监测 高三数学试题 注意事项： 1.本