2021-2022学年上海各区一模压轴题分类汇编-23题

专题 2022年分类汇编-23题 专题一 相似三角形之等量代换 【知识梳理】 【历年真题】 1．（2021秋•长宁区期末）如图，线段BD是△ABC的角平分线，点E、点F分别在线段 BD、AC的延长线上，联结AE、BF，且AB•BD＝BC•BE． （1）求证：AD＝AE； （2）如果BF＝DF，求证：AF•CD＝AE•DF． 【考点】相似三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的相似；推理能力． 【分析】（1）利用两边成比例且夹角相等证明△ABE∽△CBD，得∠BDC＝∠AEB，从而证明∠ADE＝∠E，则AD＝AE； （2）利用三角形外角的性质证明∠BAF＝∠FBC，证明△BCF∽△ABF，得，因为△ABE∽△CBD，得，等量代换，在加上BF＝DF，进行代换即可． 【解答】证明：（1）∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBD， ∵AB•BD＝BC•BE，∴，∴△ABE∽△CBD，∴∠BDC＝∠AEB， ∵∠BDC＝∠ADE，∴∠AEB＝∠ADE，∴AD＝AE； （2）∵BF＝DF，∴∠BDF＝∠FBD， ∵∠BDF＝∠BAF+∠ABD，∠FBD＝∠DBC+∠CBF， ∴∠BAF+∠ABD＝∠DBC+∠CBF， ∵∠ABD＝∠CBD，∴∠BAF＝∠FBC， ∵∠BFC＝∠AFB，∴△BCF∽△ABF，∴， ∵△ABE∽△CBD，∴ ∴ ∵BF＝DF ∴AF•CD＝AE•DF 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练进行相似三角形的证明是解题的关键． 2．（2021秋•松江区期末）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AC＝AB，过点D作 BC的平行线交AC于点E． （1）如果∠DEC＝∠BEC，求证：CE2＝ED•CB； （2）如果AD2＝AE•AC，求证：AD＝BC． 【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．版权所有 【专题】图形的相似；推理能力． 【分析】（1）通过证明△DEC∽△CEB，可得，可得结论； （2）通过证明△BCE∽△ACB，可得，由相似三角形的性质可得，可得，通过证明△ADE∽△ACD，可得，可得结论． 【解答】证明：（1）∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC， ∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠CAB， ∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠BCE， ∵∠DEC＝∠BEC，∴∠DEC＝∠BCE＝∠BEC＝∠ABC， ∴∠BAC＝∠CBE＝∠DCE，BE＝BC， ∴△DEC∽△CEB， ∴，∴CE2＝DE•BE＝DE•CB； （2）∵∠BAC＝∠CBE，∠ACB＝∠BCE， ∴△BCE∽△ACB，∴， ∵△DEC∽△CEB，∴，∠CDE＝∠BCE＝∠CED＝∠BEC， ∴，CD＝CE， ∵AD2＝AE•AC，∴， 又∵∠DAE＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD， ∴，∴， ∴AD＝BC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定是解题的关键． 3．（2021秋•杨浦区期末）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边 BC上，AE∥CD，DE∥AB，过点C作CF∥AD，交线段AE于点F，联结BF． （1）求证：△ABF≌△EAD； （2）如果射线BF经过点D，求证：BE2＝EC•BC． 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力． 【分析】（1）先证AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论； （2）通过证明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得，即可得结论． 【解答】证明：（1）∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠BCD， ∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠AEB，∴AB＝AE， ∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF， ∵∠ABC＝∠BCD，∴∠DEC＝∠BCD，∴DE＝DC， ∵CF∥AD，AE∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF＝CD，∴AF＝DE， 在△ABF和△EAD中， ， ∴△ABF≌△EAD（SAS）； （2）如图，连接FD， ∵射线BF经过点D，∴点B，点F，点D三点共线， ∵AE∥DC，∴△BEF∽△BCD， ∴，， ∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴，∴， ∵CD＝AF， ∴， ∴BE2＝EC•BC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键． 4．（2021秋•徐汇区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD交