第十七章 勾股定理（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第十七章 勾股定理（知识归纳+题型突破） 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 知识点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 特别说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决 问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 知识点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 知识点三、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 特别说明：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 知识点四、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 知识点五、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 特别说明：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点六、互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 特别说明：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 【考点一 勾股树(数)问题】 例题：下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．，， 【变式训练】 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组数是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【考点二 用勾股定理解三角形】 例题：（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于点E，，，求的长． 【变式训练】 1．直角三角形的两直角边分别为和，则斜边上的高为___________cm． 2．长方形中，长，宽，点为直线上一点，当为等腰三角形时，_______． 3．（2023上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在中，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【考点三 以直角三角形三边为边长的图形面积】 例题：如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为___________． 【变式训练】 1．如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______． 2．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为，，，已知，，则______． 【考点四 勾股定理的证明方法】 例题：如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，． (1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______． (2)求证：． 【变式训练】 1．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）． (1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：　 　； (2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论； (3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示） 【考点五 勾股定理的实际应用】 例题：如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端