2.3抛物线 同步练习-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.3抛物线 练习 一、单选题 1．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知点是抛物线：的焦点，是抛物线上的一点，若，，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 3．对任意实数，则方程所表示的曲线不可能是 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 4．足球、篮球、排球、乒乓球都是同学们喜欢的运动项目，球在运动中的某一过程形成的轨迹就是抛物线，2022年卡塔尔世界杯足球赛中，C罗抛物线跑位更是惊艳全场.已知抛物线，过点的直线交抛物线于点M，N，交y轴于点P，若，则（    ） A．1 B． C． D． 5．已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D．8 6．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 8．已知抛物线C：的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A（0，1），与抛物线C的准线交于点N，，则p=（    ） A． B．1 C．2 D．4 二、多选题 9．已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B．直线过定点 C．的最小值为 D．的最小值为2 10．已知抛物线，则过点与抛物线有且只有一个交点的直线方程可以是（    ） A． B． C． D． 11．如图，抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上一点P（点P在第一象限）作准线l的垂线，垂足为H，为边长为8的等边三角形．则（    ） A． B． C．点P的坐标为 D．点P的坐标为 12．设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．当轴时，取最小值 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 三、填空题 13．已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则 . 14．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，若，则 . 15．已知抛物线，圆与y轴相切，直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点（A，B两点在x轴的同一侧），若，，则弦长的取值范围为 ． 16．已知F是抛物线的焦点，A为抛物线上的动点，点，则当取最大值时，的值为 ． 四、解答题 17．为抛物线上一点，过作两条关于对称的直线分别交于两点． (1)求的值及的准线方程； (2)判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 18．从抛物线上各点向x轴作垂线段. (1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线； (2)直线与抛物线交于A、B两点，求证：原点O在以AB为直径的圆上. 19．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点． 参考答案： 1．D 【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程. 【详解】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上， 故抛物线的标准方程是. 故选：D 2．C 【分析】由抛物线方程得出焦点的坐标，由两点之间距离公式得出，即，再由抛物线的焦半径公式得出点的横坐标，代入抛物线方程即可得出纵坐标． 【详解】设点的坐标为， 由题意，得，所以， 根据抛物线的定义，知， 所以，代入抛物线方程得，， 则， 故选：C． 3．C 【详解】思路分析：用Ax2+By2=c所表示的圆锥曲线，对于k=0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x2+ky2=1不可能表示抛物线 4．C 【分析】利用韦达定理求出再根据得出进而用韦达定理化简即可求解. 【详解】依题意，的斜率存在且不为0，故可设其方程为， 则，设， 由可得， 由可得， 由韦达定理得 因为， 所以 故选:C. 5．A 【分析】设，由抛物线的定义可得，，设化简可得当时，取得最小值，求出的坐标，即可求解 【详解】因为抛物线，则焦点为，准线为， 又，，则点为抛物线的焦点， 过作准线的垂线，垂足为， 设，则，故， 由抛物线的定义可得， ， 又，则设故， 则， 当时，取得最小值为，则，， 将代入抛物线可得，所以 故选：A 6．D 【分析】首先将抛物线方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标. 【详解】解：抛物线的标准式为， ，则， 焦点坐标是． 故选：D． 7．D 【分析】根据已知条件可得点M坐标，代入抛物线方程求解即可. 【详解】因为抛物线的准线方程是，而点M到准线的距离为6， 所以点M的横坐标是. 所以点M的坐标为， 又因为点M在抛物线上， 所以32=2p，解得p=8或p=4