2.2双曲线 同步练习-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.2双曲线 练习 一、单选题 1．双曲线：（，）的一条渐近线过点，，是的左右焦点，且到一条渐近线的距离为，若双曲线上一点满足，则（   ） A．7 B．3或7 C．5 D．3 2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，双曲线的一条渐近线方程为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，焦距为，点在双曲线上，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的右焦点为，过和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．双曲线：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左支交于A，B两点，，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最大值和最小值时，的面积分别为，则 （    ） A．4 B．8 C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 9．已知，是椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，，分别是与的离心率，且是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 10．设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线的一条渐近线，过作，垂足为，为双曲线在第一象限内一点，则（    ） A． B． C．若，则的面积为 D．若平行于轴，则 11．设 为实数，方程 ，下列说法正确的是（    ） A．若此方程表示圆，则圆的半径是 B．若此方程表示双曲线，则 的取值范围是 C．若此方程表示焦点在 轴上的双曲线，则 的取值范围是 D．若此方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是 12．若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中错误的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．曲线可能是圆 D．若为双曲线，则 三、填空题 13．双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为 ． 14．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为 . 15．双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 ． 16．已知双曲线的离心率为，且该双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则这个双曲线的方程是 ． 四、解答题 17．已知既是双曲线的两条渐近线，也是双曲线的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线交于点，求的值； (3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作的平行线交于两点，证明：的面积为定值，并求出该定值． 18．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线：垂直. (1)求的标准方程； (2)点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由. 19．已知双曲线的焦距为且经过点. (1)求双曲线的方程： (2)若直线不经过点，与双曲线C交于A、B两点，且直线MA，MB的斜率之和为1，求证：直线l恒过定点. 20．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交轴于点，与双曲线的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：是的中点． 21．、、是海上三个救援中心，在的正东方向，相距，在的北偏西，相距，为海面上一艘油轮．某一时刻，发现的求救信号，由于、两地比距地远，因此后，、两地才同时发现这一信号，该信号的传播速度为． (1)若救援，求在处发现的方位角； (2)若信号在空间中被发现，的位置在何处时，才能使、收到的时间差小于．（只需写出一种位置即可） 参考答案： 1．A 【分析】根据条件先求解出的值，然后可求的值，分类讨论点的位置并结合双曲线的定义求解出. 【详解】，取一条渐近线， 所以到这条渐近线的距离，所以， 又因为渐近线过，所以，所以， 所以， 若在左支上，，符合要求，所以， 若在右支上，，不符合要求，     故选：A. 2．A 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，、和共线时取等号，列出的不等式即可. 【详解】，， .   即的最大值为 故选：A. 3．B 【分析】由焦距可得，根据半通径长和长可构造等式求得. 【详解】焦距为，