考点04 二次根式（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）

考点04. 二次根式（精讲） 【命题趋势】 二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。 【知识清单】 1：二次根式的相关概念（☆☆） （1）二次根式的概念：形如的式子叫做 二次根式 。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做 被开方数 。 注意：被开方数只能是非负数。即要使二次根式有意义，则 a≥0 。 （2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 最简二次根式 。 （3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做 同类二次根式 。 2：二次根式的性质与化简（☆☆☆） （1）二次根式的性质： 1）双重非负性：≥ 0（≥0）；2）； 3）； （2）二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。 （3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。 3：二次根式的的运算（☆☆☆） （1）加减法法则：先把各个二次根式化为 最简二次根式 后，再将被开方数相同的二次根式 合并 。 口诀：一化、二找、三合并。 （2）乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 。 （3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 。 （4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的 有理化因式 ，将分母中的根号去掉的过程。 分母有理化因式： 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是 分母本身带根号 的部分；即：。 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是 与分母相乘构成平方差 的另一部分； 即：。 （5）混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。 【易错点归纳】 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：、都是二次根式。 2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1。 3.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数。 4. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。 5. 化简（或计算）后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 6.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。 【核心考点】 核心考点1. 二次根式的相关概念 例1：（2023·四川绵阳·中考真题）使式子在实数范围内有意义的整数x有( ) A．5个 B．3个 C．4个 D．2个 变式1．（2023·浙江金华·统考中考真题）要使有意义，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 变式2．（2023·江苏·校考模拟预测）已知x、y为实数，且，则的值是 ． 例2：（2023·山东烟台·统考中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 变式1.（2023·广东·九年级校考阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 变式2.（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 变式3．（2023·河南驻马店·九年级校考阶段练习）请写出一个大于2且小于3的二次根式： ． 例3：（2023·重庆·九年级校考期中）如果最简二次根式与和是同类二次根式，那么a的值是（） A．4 B．5 C．6 D．8 变式1．（2023·湖南衡阳·九年级统考期中）最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 例4：（2023·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 变式1．（2023上·广东惠州·九年级校考期中）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ． 核心考点2. 二次根