2.3 一元二次方程及其解法-【一战成名新中考】2024安徽中考数学总复习·基础夯实练

基础夯实练·安徽数学 命题点 3　 一元二次方程及其解法(10 年 5 考) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 经历估计方程解的过程; 2. 理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程; 3. 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等; 4. 了解一元二次方程的根与系数的关系. 要点归纳 1.一元二次方程(ax2 + bx + c =0,a≠0)必须同时满足以下三个条件: (1)是①　 整式　 方程; (2)只含有②　 1　 个未知数; (3)未知数的最高次数是③　 2　 . 易错警示:对于方程 ax2 + bx + c = 0,只有当④　 a≠0 　 时才是一 元二次方程;若 ax2 + bx + c = 0 是一元二次方程,则必然隐含着⑤　 a≠0　 . 2. 一元二次方程的解法(基本思路:降次) 解法 适用形式 方程的根 直接开平方法 x2 = p(p≥0) x =⑥　 ± p　 (x + n) 2 = p(p≥0) x =⑦　 ± p - n　 因式分解法 (x - a)(x - b) = 0 x1 =⑧　 a　 ,x2 =⑨　 b　 x(ax + b) = 0 x1 =⑩　 0　 ,x2 =􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 　 公式法 所有一元二次方程: ax2 + bx + c = 0 (a≠0,b2 - 4ac≥0) 求根公式为 x =􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 　 　 　 　 , 在使用求根公式时: (1)要先将一元二次方程化为一般形式; (2)确定 a,b,c 的值时要带符号 配方法 所有一元二次方程,一般用于: 二次项系数化为 1 后一次项 系数是偶数的方程,形如 x2 + 2mx - n = 0 x = ± n + m2 - m 易错:①用公式法代 a,b,c 的值时要注意它们的符号; ②对于方程两边含有相同因式(如 2x(x - 1) = 3(x - 1))的一元二次方程,切勿直接约去公 因式求解导致丢根􀪍􀪍,正确做法是将方程化为两个因式之积为 0 的形式,利用因式分解法 求解. 22 基础夯实练·安徽数学 3. 根的判别式:b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的判别式. 4. 一元二次方程 ax2 + bx + c =0(a≠0)根的情况与判别式的关系 (1)b2 - 4ac > 0⇔方程有􀃊􀁉􀁕　 两个不相等　 的实数根; (2)b2 - 4ac = 0⇔方程有􀃊􀁉􀁖　 两个相等　 的实数根(x1 = x2 =􀃊􀁉􀁗　 　 　 　 　 　 ); (3)b2 - 4ac < 0⇔方程􀃊􀁉􀁘　 没有　 实数根. 由(1)(2)知 b2 - 4ac≥0⇔方程有􀃊􀁉􀁙　 两个　 实数根. 注:由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时,若一元二次方程的二次􀪍􀪍 项系数含有字母􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,应注意二次项系数不为 0􀪍􀪍􀪍 这个隐含条件. 5. 方程根与系数的关系 若方程 ax2 + bx + c =0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1 + x2 =􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 ,x1x2 =􀃊􀁉􀁛　 　 　 　 . 随堂练习 1. (北师九上 P36 做一做改编)x2 + 8x + 　 16　 = (x + 4) 2;x2 - 12x + 　 36　 = (x - 　 6　 ) 2 . 2. 请用你认为的最佳方法解下列方程. (1)x2 - 2x - 4 = 0; 解:由原方程得 x2 -2x =4, 则 x2 -2x +1 =4 +1,即 (x -1) 2 =5, ∴ x -1 = ± 5, ∴ x1 =1 + 5,x2 =1 - 5; (2)2x2 - 5x + 2 = 0; 解:b2 -4ac = ( -5) 2 -4 ×2 ×2 =9 >0, ∴ x =5 ± 94 = 5 ±3 4 , ∴ x1 =2,x2 = 1 2 ; (3)x(x - 7) = 8(7 - x) . 解:由原方程得 x(x -7) + 8(x -7) =0, ∴ (x -7)(x +8) =0, ∴ x1 =7,x2