2024年九年级中考数学专题复习——专题21 垂美四边形模型

中考专题复习——专题21 垂美四边形模型 垂美四边形的概念：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形。 垂美四边形的性质：①S垂美四边形ABCD=AC•BD ②AB2+DC2=AD2+BC2 【变形一】如图，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP，则DP、BP、AP、CP之间的关系：DP2+BP2=AP2+PC2 【变形二】如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP则AP、BP，CP，DP之间的关系：AP2+PC2=DP2+BP2 1.定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝2，AB＝5，则 ①求证：△AGB≌△ACE ②GE＝　 　． 2．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．如图所示，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接，，，已知． （1）求证：是等边三角形；（2）求证：，即四边形是勾股四边形． 3．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究： ①如图1，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数量关系．写出你的猜想，并给出证明； ②如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由； （3）问题解决： 如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的长． 4．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长． 5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是 （填序号）； (2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．求证：AB2＋CD2＝AD2＋BC2； (3)解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝，AB＝3 ①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由； ②求GE的长． 6．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2． （2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD； ①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长； ②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝　　 ． 7．（2023·湖北武汉·八年级统考期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD； ①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长； ②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝　　． 8．阅读材料：我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．如图1，D、E分别是BC、AC的中点，则DE