夯基专题14 空间位置关系的判断与证明-2024届高三数学二轮专题复习

夯基专题14 空间位置关系的判断与证明 【核心知识】 1．空间中直线与直线的位置关系考向一 空间线、面位置关系的判定 (1) 位置关系分类 位置关系 异面直线 共面直线 平行直线 相交直线 文字语言 不同在任何一个平面内，没有公共点 在同一平面内，没有公共点 在同一平面内，有且仅有一个公共点 公共点 无公共点 一个公共点 无公共点 符号语言 a，b是 异面直线 a∥b a∩b＝A 图形表示 (2) 异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. (3)特殊位置关系：平行、垂直 2．空间中直线与平面的位置关系 (1) 位置关系分类 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 (2) 直线与平面所成角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. ②范围：. (3)特殊位置关系：平行、垂直 3． 空间中平面与平面的位置关系 (1) 位置关系分类 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点 (在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 (2) 二面角的平面角 ①定义：在二面角的棱上取一点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直与棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角. ②范围：. (3)特殊位置关系：平行、垂直 【典例精讲】 例1.(2023·四川省成都市·联考)在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，为线段上一点．请判断直线与平面之间的位置关系，并给出证明． 例2.(2022·浙江省杭州市·专项测试)一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是： 三角形菱形矩形正方形正六边形． 则其中判断正确的个数是          ． 【拓展提升】 练1-1.(2023·河北省·期中考试)一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中，，，，分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论： 直线与直线是异面直线； 直线与直线是异面直线； 直线与直线共面； 直线与直线是异面直线． 其中正确结论的个数为(    ) A. B. C. D. 练1-2.(2022·福建省漳州市·期末考试)透明塑料制成的正方体密闭容器的体积为，注入体积为的液体．如图，将容器下底面的顶点置于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是(    ) A. 液面始终与地面平行 B. 时，液面始终呈平行四边形 C. 当时，有液体的部分可呈正三棱锥 D. 当液面与正方体的对角线垂直时，液面面积最大值为 考向二 几何法证明平行、垂直 【核心知识】 1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 即：“线线平行⇒线面平行” 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 即：“线面平行⇒线线平行” 2．面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 即：“线面平行⇒面面平行” 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 即：“面面平行⇒线线平行” 3. 直线与平面垂直 ⑴定义：一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作 . 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足. ⑵直线与平面垂直的判定定理和性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 即：“线线垂直⇒线面垂直” 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 即：“线面垂直⇒线线平行” 4．平面与平面垂直 ⑴二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是. 若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直. ⑵平面与平