提高专题15 轨迹方程问题-2024届高三数学二轮专题复习

提高专题15 轨迹方程问题探究一 定义法 【方法储备】 定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法. 强调： （1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线． （2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线． （3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径． （4）平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （5）平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （6）平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． （7）一般涉及到动圆与两定圆相切问题(包括内切、外切)，利用定义求圆心轨迹，轨迹为椭圆或双曲线，主要确定和还是差能消去动圆半径r. （8）若圆的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以O、A为焦点，r为长轴长的椭圆. （9）若圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线和直线OP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以O、A为焦点，r为实轴长的双曲线. (10)已知定点F和定直线，F不在直线上，动圆M过F且与直线相切，则圆心M的轨迹是一条抛物线. 【典例精讲】 例1.( 2022·湖南省长沙市模拟) 已知动圆与圆：外切，与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为          ． 例2.( 2022·四川省成都市期中) 平面上一动点满足，则的轨迹方程为          ． 【拓展提升】 练1-1(2023·湖南省常德市月考) 如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是(    ) A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 练1-2(2022·湖北省襄阳市模拟) 已知半径为的动圆与圆有三条公切线，则动圆圆心的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 探究二 直接法 【方法储备】 直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法． 强调：利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： （1）建系：建立适当的坐标系 （2）设点：设轨迹上的任一点 （3）列式：列出有限制关系的几何等式 （4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示， （5）检验：对某些特殊值应另外补充检验． 【典例精讲】  例3.( 2023·山东省青岛市月考) 已知平面内正方形的边长为 ，点满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 例4. (2023·山东省东营市模拟) 公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中，，则满足的点的轨迹的圆心为          ，面积为          ． 【拓展提升】 练2-1(2022·江苏省盐城市模拟)(多选) 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究： 参考该同学的探究，下列结论正确的有：(    ) A. 时，点的轨迹为椭圆不含与轴的交点 B. 时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆不含与轴的交点 C. 时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆不含与轴的交点 D. 时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线不含与轴的交点 练2-2(2023·北京市市辖区月考)在等边中，，点是所在平面内一点，且满足，则的取值范围为          ．探究三 相关点法 【方法储备】 相关点法：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出,用表示出相关点的坐标,然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程. 强调：利用相关点法求动点的轨迹方程的步骤如下：： 第一步：设所求轨迹的点，曲线上的动点； 第二步：找出与的关系，由表示，即； 第三步：满足已知的曲线方程，将代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍． 【典例精讲】 例5( 2022·河北省张家口市期中) 如图所示，已知两