提高专题8 三角函数的范围、最值问题-2024届高三数学二轮专题复习

提高专题8 三角函数的范围、最值问题探究一 三角函数式的最值或范围 【方法储备】 求三角函数式的最值或范围问题 (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式； (2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求范围. (3)有时需要借助基本不等式求范围或最值. 【典例精讲】 例1. (2023·广东省广州市·模拟题) 已知扇形的半径为，，如图所示，在此扇形中截出一个内接矩形点，在弧上，则矩形面积的最大值为          ． 例2.(2023·北京市市辖区·模拟题) 函数的部分图象如图所示． 求的解析式； 设，求函数在上的最大值，并确定此时的值． 【拓展提升】 练1-1. (2023·江苏省南京市·模拟题) 已知函数，其中若，是方程的两个不同的实数根，且的最小值为，则当时，的最小值为________． 练1-2.(2023·江苏省南京市·模拟题) 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为          ． 【方法储备】探究二 与三角函数性质有关的参数范围 与三角函数性质有关的参数问题，主要分为三类，其共同的解法是将y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看作一个整体，结合正弦函数的图象与性质（对称性、奇偶性或单调性）进行求解. 考向1:由最值(或值域)求参数的范围 考向2:由单调性求参数的范围 考向3:由对称性求参数的范围 考向4:由函数的零点求参数的范围 【典例精讲】 例3. (2023·湖北省三市联考) 已知函数的一条对称轴为，且在区间上值域为，则实数的最大值为 A. B. C. D. 例4. (2023·广东省揭阳市·模拟题) 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为(    ) A. B. C. D. 例5.(2023·全国·模拟题) (多选）设函数 向左平移个单位长度得到函数，若在上恰有个零点，个极值点，则下列说法正确的是 A. 在上单调递减 B. 的取值范围为 C. 若的图象关于直线对称，则 D. 在区间上存在最大值 【拓展提升】 练2-1.(2023·海南省海口市·模拟题) 已知，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 练2-2.(2023·山东省菏泽市·模拟题) 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练2-3. (2023·河北省·模拟题) （多选）已知函数的最小正周期为，且满足，，，若在上有三个不同的零点，则的取值可以是(    ) A. B. C. D. 探究三 三角形中有关量的最值或范围 【方法储备】 三角形中的最值、范围问题的解题策略： (1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围. (2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式. (3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值. 【典例精讲】 例6. (2023·北京市·模拟题) 在中，若，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 例7. (2023·湖南省·模拟题) 在中，． 判断的形状； 求的最大值． 【拓展提升】 练3-1.(2023·安徽省安庆市·模拟题) 在中，为 的中点，则的最大值为          ． 练3-2. (2023·江西省宜春市期末考试) （多选）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有(    ) A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为D. 的取值范围为 【答案解析】 例1.解：作的角平分线，交于，于，连接， 根据题意可知为等边三角形，则为的中点，为的中点， 设，， ，则， 则， ，则， 所以矩形的面积 ， 当，即时，取得最大值， 所以矩形面积的最大值为． 故答案为：． 例2.解：由图知，，则， ，， ， ， ， ，， 的解析式为； 由可知：， ， ，， 所以当即时，．  练1-1.解：，是方程的两个不同的实数根，且的最小值为， 由，得，即， 或， 、，且， ，， ， ， ，解得， ， ，， 当时，最小为． 故答案为． 练1-2.解： ， 由图形可知需要满足，即，， 为正整数，可知最小值为， 例3.解： 因为的一条对称轴为， 所以，则，因为， 所以．则， 当时， 因为在区间上值域为，则，所以， 则实数的最大值为． 故选D． 例4.解：函数在区间上的最大值为， 当，即时，的最大值为，解得； 当，即时，的最大值为， 令，，作出图象如图所示， 由图