提高专题16 圆锥曲线的定点、定值、定线问题讲义-2024年高三数学二轮专题复习

提高专题16 圆锥曲线的定点、定值、定线问题探究一 定点问题 【方法储备】 在解析几何中，动直线或动曲线不论如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐标，称为“定点问题”．定点问题的主要考查形式有①圆锥曲线中的直线过定点问题；②圆锥曲线中的圆过定点问题； 圆锥曲线中定点问题的解题策略： 1.参数法：①动直线过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点． ②动曲线过定点问题，解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. 2.特殊法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 【典例精讲】 例1.( 2022·湖南省长沙市模拟) 已知椭圆，过圆上任意一点作圆的切线，与椭圆交于，两点，以为直径的圆是否过定点若过，求出该定点若不过，说明理由． 例2.( 2023·江苏省南京市月考) 在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右顶点分别为，，是椭圆的右焦点，且，． 求椭圆的方程； 不过点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，若，证明直线过定点，并求出定点的坐标． 例3.(2023·浙江省杭州市模拟) 已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点，，满足． 求抛物线的方程 Ⅱ过点且斜率为的直线与直线交于点，，证明：直线经过定点． 【拓展提升】 练1-1(2023·乙卷理科) 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上 求的方程 过点的直线交椭圆于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 练1-2(2022·湖北省襄阳市期末) 已知双曲线的离心率为，点是双曲线上一点．探究二 定值问题 求双曲线的方程． 设点，为双曲线上一点，为关于原点的对称点，直线，与双曲线分别交于异于，的两点，试问：直线是否过定点，若是，请求出定点的坐标若不是，请说明理由． 【方法储备】 圆锥曲线中有些几何量如直线的斜率、两点间的距离、图形的面积、线段或角的比值及基本几何量和变量无关，这类问题统称为“定值问题”．定值问题的主要考查形式有①圆锥曲线中面积为定值问题；②圆锥曲线中斜率为定值问题；③圆锥曲线中线段为定值问题. 圆锥曲线中定值问题的解题策略： 1.特殊法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 2.引进变量法：其解题流程为： 3.直接法：直接推理，在计算过程中消去变量，从而得到定值．消元的常用方法为整体消元、选择消元、对称消元等． 强调： （1）设点是椭圆：上一定点，点是椭圆上不同于的两点，若，则时直线斜率为定值，若，则直线过定点； （2）设点是双曲线：一定点，点是双曲线上不同于的两点，若，则时直线斜率为定值，若，则直线过定点； （3）设点是抛物线：一定点，点是抛物线上不同于的两点，若，则时直线斜率为定值，若，则直线过定点. 【典例精讲】  例4.( 2023·湖南省长沙市模拟) 已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点，焦点到渐近线的距离为． 求双曲线的方程； 若过点任意作一条直线与双曲线交于，两点都不同于点，求证：为定值． 例5.(2023·湖南省长沙市期末) 过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于，两点． 证明：，两点的纵坐标之积为定值； 若点是定直线上的任一点，设直线，，的斜率分别为，试探索之间的关系，并证明． 【拓展提升】 练2-1(2023·湖南省长沙市模拟) 已知椭圆经过点，且离心率为． 求椭圆的方程； 若经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，均异于点，证明：直线与的斜率之和为定值． 练2-2(2022·山东省青岛市模拟) 已知，，． 求的轨迹方程； 为曲线上一动点，，，求的最大值和最小值； 直线与曲线交于，两点，若以为直径的圆过原点，试探究点到直线 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【方法储备】探究三 定线问题 圆锥曲线中的定线问题以求证探究类居多,最常见的便是证明或探究两条直线的交点在定直线上.处理定线问题的核心思想,就是通过核心条件,建立目标点横纵坐标之间的关系.而这其中大部分情形,往往都是定直线与坐标轴平行或垂直,即直线方程为或. 圆锥曲线中定线问题的解题策略： 1.设点法：通过已知点轨迹，消去参数，得到定直线方程； 2.特殊法：从特殊情况入手，确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况也合适，属于“先猜再证”. 【典例精讲】 例6( 2023·湖北省孝感市月考) 已知双曲线：的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为． 求的方程； 设，是直线上关于轴对称的两点，直线与交于，两点，证明：直线与的交点在定直线上． 例7(2022·海南省海口市联考)已知双曲线的两焦点为，，为动点，若． 求动点的轨迹方程； 若，，，设直线过点，且与轨迹交于、两点