提高专题9 解三角形的综合问题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

提高专题9 解三角形的综合问题 探究一 以多个三角形为载体的解三角形问题 【方法储备】 多个三角形背景解三角形问题的求解思路 （1） 把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后再各个三角形内利用正弦定理、余弦定理求解； （2） 寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系，平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题. 【典例精讲】 例1. (2023·浙江省·期中考试) 如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点从点测得，从点测得，，从点测得若测得，单位：百米，则两点间的距离为(    ) A. B. C. D. 例2. (2023·江苏省南京市·月考) 在平面四边形中，，，，． 若，求； 记四边形的面积为，求的最大值． 【拓展提升】 练1-1. (2023·江苏省南通市·月考) 如图，在平面凸四边形中，，为对角线的中点．若，则          ，          ． 练1-2. (2023·河北省衡水市·模拟题) 已知的内角，，的对边分别为，，，且． 求的最小值； 若为的重心，，求． 探究二 平面向量与解三角形结合问题 【方法储备】 平面向量与解三角形相结合，解题的关键是将向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用三角形边与角的关系进行求解；向量的三点共线问题，向量加减法的几何意义等知识都有可能贯穿在解题中. 【典例精讲】 例3. (2023·安徽省·模拟题) 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，设是边的中点，且的面积为则(    ) A. B. C. D. 例4.(2023·浙江省湖州市月考) 点是内一点，且满足，则的值为(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1. (2023·江西省九江市联考) 已知非零向量，满足，且  ，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 练2-2. (2023·河北省衡水市·模拟题) 已知，为边上一点，，． 若，，求； 若直线平分，求与内切圆半径之比的取值范围． 探究三 函数思想在解三角形中的应用 【方法储备】 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，利用建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．在解三角形类设计求最值的问题中，通常也需要通过建立函数关系式或构造函数，将要求解问题与已知条件联系起来，把要研究的问题转化为基本初等函数的性质（单调性或最值等），达到化繁为简，化难为易的效果. 【典例精讲】 例5. (2023·湖北省武汉市月考) 在锐角中，角、、的对边分别为、、，已知不等式恒成立，则当实数取得最大值时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例6. (2023·江苏省苏州市月考) 如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中，直径长为，，两点在半圆弧上，且，设，现要在景区内铺设一条观光通道，由，，和组成． 若，求观光通道的长度； 现要在农庄内种植经济作物，其中，在内种植鲜花，在内种植果树，在扇形内种植草坪．已知种植鲜花和种植果树的利润均为百万元，种植草坪的利润为百万元，则当为何值时总利润最大？ 【拓展提升】 练3-1.(2023·广东省梅州市·联考题) 在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练3-2.(2023·山东省青岛市月考) 如图，直角中，点，在斜边上异于，，且在，之间． 若是角的平分线，，且，求的面积； 已知，，，设． 若，求的长； 求面积的最小值． 【答案解析】 例1.解：根据题意，在中，，，， 则，则， 在中，，，， 则， 则由正弦定理可得， 变形可得， 在中，，，， 则由余弦定理可得， 则； 故选C． 例2.解：在中，由余弦定理可得， 所以，解得， 因为，，所以， 在中，由正弦定理可得，解得； 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以 ， 因为，所以当，即时，四边形面积取得最大值．  练1-1.解：设，，则， 由， 即 由， 即， 联立可解得，则， 所以， 又，所以， 故答案为；． 练1-2.解：因为  ，所以  ，当且仅当  ，即  时，等号成立； 所以的最小值为． 设边 的中点为 ，边 的中点为 ，边 的中点为 ，因为点 为  的重心， 所以  ， 在  中，  ， 为边 的中点，所以  ，所以  ，设  ，则  ， 在  中，  ，即  ， 在  中，  ，即  ， 在  中，  ，即  ， 消去，得  ，又因为 ，所以  ， 从而解得：  ，即  ， 在  中，  ， 所以  ， 在