提高专题7 导数中的双变量问题讲义-2024年高三数学二轮专题复习

提高专题7 导数中的双变量问题 探究一 构造差函数（极值点偏移） 【方法储备】 思路一：构造对称差函数 构造对称差函数是极值点偏移问题的一种通性解法,主要用来解决两数和或者积与极值点相关的不等式证明问题.对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧,然后根据函数的单调性,通过两个变量之间的关系“减元”,建立新函数,最终将问题转化为函数的单调性来求解. 已知函数满足(),极值点为，求证:或. ⑴求函数的导数,确定函数的单调区间,求出极值点,确定； ⑵构造函,注意； ⑶判断在时的单调性,得出与0的大小关系,进而得到与的大小关系； ⑷与的大小关系，即为与的大小关系，结合的单调性，得到与的大小关系. 思路二：消元构造一元函数 消元构造一元函数是解决极值点偏移的另一种简单快捷的方法.利用两数之比(差)作为变量，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解，将双变量问题转化为单变量问题，从而实现消元的目的. 已知函数有两个零点分别为, 若,求证:. ⑴建立方程组:; ⑵定关系：利用方程的结构特点消去参数，建立的联系，即； ⑶换元：引入新变量,证明即证明，将不等式问题转化为关于的函数问题; 构造函数求解：构造关于的函数，，研究函数的单调性求最值. 【典例精讲】 例1.(2023·安徽省蚌埠市月考) 已知函数． 求的单调区间 若，为两个不相等的实数，且满足，求证：． 例2.(2023·浙江省衢州市月考) 已知函数． 若在上单调递减，求实数的取值范围； 若是方程的两个不相等的实数根，证明：． 【拓展提升】 练1-1(2023·河北省石家庄市模拟) 已知函数． 讨论函数的单调性； 若是的两个不相等的零点，证明：． 练1-2(2023·湖北省襄阳市模拟) 已知函数 当时，，求实数的取值范围 若，，，使得，求证：． 探究二 同构法 【方法储备】 思路一：单调性同构 题型特点：含有双变量，把下标相同的双变量移到一起后每个变量的结构作用相同，多以构造函数比较大小的形式出现，如： ⑴，等价变形为，研究函数的单调性； ⑵，先判断函数的单调性，去掉绝对值后，分离，构造函数； ⑶，令，则，证明函数. 思路二：结构同构 题型特点：变形为，若单调递增，则；若单调递减， 则.如： 等. 【典例精讲】  例4.(2023·湖北省十堰市月考) 已知函数，若对任意的，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为___ ． 例5. (2023·河北省保定市模拟) 已知实数满足，，则(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1(2023·浙江省杭州市期末)（多选） 已知，且，则(    ) A. B. C. D. 练2-2(2023·江苏省南通市月考) 已知，为实数，对于任意的实数，都有成立，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】探究三 比值代换与对数均值不等式 思路一：比值代换 比值代换，可以以解决很多极值点偏移问题，还可以解决很多其他的双变量问题.通过比值代换，我们可以将双变量问题转化为单变量问题来处理，达到消元的效果.常见的模型有： ⑴已知函数，若，不妨设，则令， 即； ⑵已知函数，若，则, 利用对数均值不等式可得： 思路二：对数平均不等式 对数平均不等式能有效解决含有型不等式问题. 两正数的对数平均定义是, 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系是 (当且仅当时取等号). 当时，不等式成立； 当时，不妨令, ⑴,设构造函数； ⑵，设构造函数. 【典例精讲】 例5.(2023·湖北省武汉市月考月考) 已知函数． 当时，讨论函数的单调性： 若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值． 例6.(2023·江苏省扬州市月考) 已知函数 若函数有唯一极值点，求实数的取值范围； 若对函数，其中，若存在正实数，使得，证明：． 【拓展提升】 练3-1(2023·江苏省常州市期末) 己知函数，是的导函数，且有两个零点． 讨论的单调性； 若，求证： 练3-2(2023·广东省广州市联考) 已知函数有两个零点，，且， 求的取值范围； 证明：． 【答案解析】 例1.解：由题意知的定义域为，， 当时，当时，， 的单调递增区间是，单调递减区间是； 将两边同时除以，得， 即，， 由知在上单调递增，在上单调递减， 又，，当时，， 设，则， 令， 则， 由，得，，， 在上单调递增， 又，， 当时，， 即，即，又，， 又，，在上单调递减， ，故．  例2. 解：，， 在上单调递减， 在上恒成立，即， 即在上恒成立， 设，，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以函数的最大值是，所以； 若是方程的两个不相等的实数根， 即有个不同实数根，且，， 可得有个不同实数根，显然， 得所以， 不妨设，则， 要证明， 只需