专题3 运用化归与转化思想解题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

专题3 运用化归与转化思想解题考向一 特殊与一般的转化 【典例精讲】 例1.(2023·福建省模拟)过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点． 证明：两点的纵坐标之积为定值； 若点是定直线上的任一点，设直线的斜率分别为，试探索之间的关系，并证明． 【变式训练】 练1-1(2023·江苏省月考)若正整数数列，满足，对任意，，都有恒成立，则称，为“友好数列”． 已知，的通项公式分别为，，求证：，为“友好数列” 已知，为“友好数列”，且，求证：是等差数列的充分不必要条件是是等比数列． 练1-2(2023·浙江省月考)在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为． 求椭圆的标准方程； 已知过点的动直线与椭圆交于，两点，试判断以线段为直径的圆是否恒过定点，并说明理由． 考向二 函数、方程、不等式之间的转化 【典例精讲】 例2.(2023·江苏省联考)设函数，若的整数有且仅有两个，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【变式训练】 练2-1(2023·河北省模拟)设函数，若对任意的正实数，，不等式恒成立，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 练2-2(2023·安徽省模拟)已知函数 讨论函数的单调性 若有两个极值点，且，求的取值范围     考向三 正难则反的转化之间的转化 【典例精讲】 例3.(2023·广东省月考)若“”为假命题，则实数的取值范围为          ． 【变式训练】 练3-1(2023·江西省模拟)若三个关于的方程，，中至多有两个方程有实根，求实数的取值范围． 练3-2(2023·北京市月考)函数，，若存在，，使得，则的取值范围是          ． 练3-3( 2023·湖南省联考)从盒子中摸出一个黑球的概率是，从盒子摸出一个黑球的概率是，从两个盒子中各摸出一个球，则下列说法中错误的是(    ) A. 个球都不是黑球的概率为 B. 个球中恰有个是黑球的概率为 C. 个球中至少有个黑球的概率为 D. 个球中至多有个黑球的概率为 考向四 数与形的转化的转化 【典例精讲】 例4.( 2023·福建省模拟)已知椭圆：的右顶点为点，直线交于，两点，为坐标原点．当四边形为菱形时，其面积为． 求的方程； 若；是否存在直线，使得，，，四点共圆？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【变式训练】 练4-1(2023·福建省模拟)若实数，，，满足，则的最小值为___． 练4-2(2023·湖南省联考)长方体中，，，，为侧面内含边界的动点，且满足，则四棱锥体积的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案解析】 例1解：证明：设有，下证之： 因为直线与抛物线相交于两点，所以直线的斜率不为可设直线的方程为：． 把的方程与联立得，消去得． 由韦达定理得即两点的纵坐标之积为定值． (2) 探索：当直线轴时，则，设点， 此时，，，所以． 猜想一般情况下，有，下证之： 设点，则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以 ． 又因为直线的斜率为， 所以． 【变式训练】 练1-1解：由于， 则设 ， ， 可得： ． 因此为友好数列 已知为友好数列，即对任意，，都有 ， ， 两式作差可得，从而有． 充分性：若为等比数列，即有， 当时，，即． 所以，又因为为整数，从而或者， 若，则， 所以，，与为正整数矛盾，故舍去； 则，再由， 可知，即，说明是等差数列； 不必要：举例说明：． 所以是等差数列的充分不必要条件是是等比数列．  练1-2解：由题意，故， 又椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为， 所以，解得，，所以， 所以椭圆的标准方程为． 当直线的斜率为时，令，则，此时以为直径的圆的方程为． 当直线的斜率不存在时，以为直径的圆的方程为， 联立解得，即两圆过点． 猜想以为直径的圆恒过定点． 对一般情况证明如下： 设过点的直线的方程为，与椭圆交于，则 整理得， 所以． 因为， 所以． 所以存在以为直径的圆恒过定点，且定点的坐标为．  例2.解：，即，整理得． 又，， 令，， ，令得， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 且，且时，，作出函数的图象，如图所示， 若的整数有且仅有两个，即的整数有且仅有两个， 显然，且需满足，即 解得，即的取值范围是 故选：． 练2-1解：函数，， 则， 令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 若对任意的正实数，，不等式恒成立， 则恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以，所以，即的最小值为． 故选C． 练2-2解： 令． 若，此时， ，所以在上单调递增．  若，此时由得，，，． 当或时，，单调递增； 当时，，单