提高专题12 空间几何体的截面、交线问题讲义-2024年高三数学二轮专题复习

提高专题12 空间几何体的截面、交线问题 【方法储备】探究一 截面的作法、及判断 1截面定义： 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的交集(交线)叫做截线，与几何体棱的交集(交点)叫做截点.用一个平面去截一个几何体所得到的平面图形称 之为截面， 在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等),得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 2确定截面的主要依据有 (1)平面的四个公理及推论. (2)直线和平面平行的判定和性质. (3)两个平面平行的性质. 3立体几何中截面的作法： ①直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； ②作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； ③作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； ④辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 【典例精讲】 例1.(2022·福建省福州市·月考试卷·多选)如图，在正方体中，，为所在棱的中点，过，两点作正方体的截面，则截面的形状可能为(    ) A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 例2.(2021·江苏省苏州市·同步练习)如图，在多面体中，是正方形，，，为的中点．  已知平面，有一个平面过点且平行于平面，将多面体截为两部分，试画出截面多边形，并求其周长 【拓展提升】 练1-1.(2022·广东省中山市·同步练习·多选)在正方体中，是面对角线上的动点，是棱的中点，过、、三点的平面与正方体的表面相交，所得截面多边形可能是 (    ) A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 练1-2.(2023·浙江省杭州市·月考试卷)如图所示，在三棱锥中，与所成的角为，且在线段上分别取靠近点的等分点，记为，，，过作平行于，的平面，与三棱锥的截面记为，其面积为，则以下说法错误的是 (    ) A. 截面，，，都为平行四边形 B. C. D. 探究二 截面的面积或周长 【方法储备】 处理这类问题的基本思想是借助空间点线面的位置关系和相应的定理，将空间问题平面化. 【典例精讲】 例3.(2023·江西省九江市·期末考试)已知正方体的棱长为，为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为          ． 例4.(2023·北京市市辖区·期末考试)如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形含三角形的周长为，设，则当时，函数的值域为(    ) A. B. C. D. 例5..(2023·北京市市辖区·期末考试)已知正四棱锥的高为，棱的长为，点为侧棱上一动点，那么面积的最小值为(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1.(2023·浙江省·阶段练习)如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的周长是(    ) A. B.   C. D. 练2-2.(2023·河南省·月考试卷)刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体现有一个刍甍如图所示，底面为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为 A. B. C. D. 练2-3.(2023·浙江省·期末考试)一个圆锥母线与底面所成的角为，体积为，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为          ． 【答案解析】 例1.解：由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形， 如图，截面的形状只可能为四边形和六边形． 故选：． 例2.解：分别取，，，的中点，，，， 多边形为所求截面， 平面，且平面，， ，平面，又平面，， 在中，， 同理， ，， ，，， 截面多边形的周长为．  练1-1.解：当点与点重合时截面为三角形； 设平面与平面的交线为过点的直线，则， 当与相交时截面为四边形； 在与相交时截面为五边形； 截面没有六边形． 故选：． 练1-2.解：设截面与交于，与交于，与交于， 因为截面与，平行，则根据线面平行的性质有： ，， 所以截面为平行四边形， 同理，截面，，，都为平行四边形 ，A正确； 由， ，B正确； 由的分析，同理可得： ，是关于的二次函数，其图象开