提高专题17 圆锥曲线中的范围、最值、探究问题-2024届高三数学二轮专题复习

提高专题17 圆锥曲线中的范围、最值、探究问题 探究一 范围、最值问题 【方法储备】 解决圆锥曲线中范围、最值问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数、不等式求最值、范围，因此这类问题的难点就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法： ①几何法:即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； ②代数法:即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 强调： 1.利用几何法求范围、最值的解题策略: ①抓住图形中的定点与定长，通常与求范围、最值相关； ②遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到.因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值,所以只有共线时才有可能达到最值.要注意动点与定点相对位置关系.一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上; ③若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置 ④处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置. 2.利用代数法求范围、最值的解题策略： ①利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用已知参数的范围,求新参数的范围,核心是建立两个参数之间的等量关系； ④利用求值域的方法将待求量表示为其它变量的函数求值域,从而求出参数的取值范围. 【典例精讲】 例1.(2023·福建省莆田市期中)(多选) 已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是(    ) A. 离心率的取值范围为 B. 当时，的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为 例2.( 2023·湖北省荆门市模拟) 已知椭圆与直线有且只有一个交点，点为椭圆上任一点，，，且的最小值为． 求椭圆的方程 设直线与椭圆交于不同两点，，点为坐标原点，且，当的面积最大时，求的取值范围． 【拓展提升】 练1-1(2023·甲卷文科) 已知直线与抛物线：交于，两点，． 求的值 设为的焦点，，为上的两点，且，求面积的最小值． 练1-2(2023·江苏省南通市期末)过双曲线：的左焦点的动直线与的左支交于、两点，设的右焦点为若存在直线，使得，则的离心率的取值范围是          ．探究二 探究问题 【方法储备】 探究问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 探究问题的解题策略： ①通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在； ②反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法． 【典例精讲】  例3.( 2023·江苏省南京市模拟) 已知椭圆的离心率为，其左焦点为 求的方程 如图，过的上顶点作动圆的切线分别交于，两点，是否存在圆使得是以为斜边的直角三角形若存在，求出圆的半径若不存在，请说明理由． 例4.( 2023·浙江省杭州市模拟)已知抛物线：，过其焦点的直线与抛物线交于、两点，与椭圆交于、两点，其中． 求抛物线方程； 是否存在直线，使得是与的等比中项，若存在，请求出的方程及；若不存在，请说明理由． 【拓展提升】 练2-1(2023·河北省石家庄市模拟)已知椭圆：的离心率是，点在椭圆上． 求椭圆的标准方程； 已知，直线：与椭圆交于，两点，若直线，的斜率之和为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 练2-2(2023·河南省南阳市模拟) 已知双曲线：与直线：相交于、两点，为线段的中点． 当变化时，求点的轨迹方程； 若与双曲线的两条渐近线分别相交于、两点，问：是否存在实数，使得、是线段的两个三等分点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案解析】 例1.解：对于：因为点在椭圆内部， 所以，得， 所以，故A正确； 对于：由椭圆定义知 所以， 当