提高专题13 空间几何体中的动点及其轨迹问题讲义-2024年高三数学二轮专题复习

提高专题13 空间几何体中的动点及其轨迹问题 【方法储备】探究一 动点轨迹的定性研究 判断轨迹的类型问题，常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等.在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题. 【典例精讲】 例1.(2023·湖北省·单元测试)已知正方体，空间一动点满足，且，则点的轨迹为(    ) A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 例2.(2022·浙江省温州市·期中考试·多选)如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，为侧面的一动点，下列说法正确的是(    ) A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 若的面积为，则动点的轨迹为椭圆的一部分 C. 若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线的一部分 D. 过直线的平面与面所成角最小时，平面截正方体所得的截面面积为 【拓展提升】 练1-1.(2023·辽宁省营口市·期末考试)空间中平面、平面、平面两两垂直，点到三个平面的距离分别为、、，若，则点的轨迹是(    ) A. 一条射线 B. 一条直线 C. 三条直线 D. 四条直线 练1-2.(2023·云南省·联考题·多选)已知在长方体中，，，点是四边形内包含边界的一动点，设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，则(    ) A. 点的轨迹为一条抛物线 B. 直线与直线所成角的最大值为 C. 线段长的最小值为 D. 三棱锥体积的最大值为 探究二 动点轨迹的定量研究 【方法储备】 常见计算方法： ①是根据几何体的结构特征，化动态为静态，直观判断轨迹形状，进行求解； ②是将几何体平面化，求解; ③是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数问题求解. 【典例精讲】  例3.(2023·北京市市辖区· 模拟题)在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，平面平面，点是内的一个动点含边界，且满足，则点所形成的轨迹长度是          ． 例4.(2022·浙江省台州市·月考试卷)如图，正方体的棱长为，为底面两条对角线的交点，为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为若，则动点的轨迹长度为          ． 例5. (2022·河北省邯郸市·模拟题)如图所示，是平面内一定点，是平面外一定点，直线与平面所成角为设平面内的动点到点、点距离分别为、，且若点的轨迹是一条直线，          若点的轨迹是圆，则的取值范围是          ． 【拓展提升】 练2-1.(2022·江苏省盐城市·模拟题)在四棱锥中，平面，，点是矩形内含边界的动点，且，，直线与平面所成的角为记点的轨迹长度为，则(    ) A. B. C. D. 练2-2.（2023·山东省·模拟题·多选）如图，在长方体中，，，为中点，为矩形内的动点包括边界，且，则(    ) A. 点的轨迹为椭圆的一部分 B. 点的轨迹为圆的一部分 C. 点的轨迹与，所围成的图形面积为 D. 点的轨迹长度为 练2-3.(2023·江苏省无锡市·同步练习)已知球的表面积为，是球内的定点，，过的动直线交球面于，两点，，则球心到的距离为          ；若点，的轨迹分别为圆台的上、下底面的圆周，则圆台的体积为          ． 【答案解析】 例1.解：在正方形中，， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，， 所以平面， 由题意，点在对角面内， 因为，为一定值， 所以点的轨迹为以为母线，所在直线为高的圆锥的底面圆上，因此点的轨迹为圆． 故选B． 例2.解：如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 则，，故A错误； 设到的距离为，则，， 所以点位于以 为中轴线，半径为的圆柱面上， 又位于平面上，则位于平面与圆柱面的交线上， 根据圆柱面与平面的位置关系，可得的轨迹为椭圆的一部分，故B正确； 点到直线的距离等于， 即到与到直线的距离相等， 根据抛物线的定义，则动点为抛物线的一部分，故C正确； 取中点，则易得，且平面， 易得当与平面和底面的交线垂直时， 过直线的平面与面所成角最小， 可知，则平面和底面的交线与平行， 此时易得平面即为图中的平面，其中点，，，是所在棱的中点， 截面图形为正六边形，边长为， 故其面积为，故D正确； 故选BCD． 练1-1.解：以、、分别为长方体的长宽高，如图： ， 则若平面、平面、平面分别为平面、平面、平面， 根据长方体的体对角线性质可得，只有在长方体体对角线上的点满足， 则点的轨迹是四条直线． 故选D． 练1-2.解：对于，过点作垂直于底面，垂足为，过作  ，垂足为，连接，，，则  ，  ，又  ，  ，而为点在底面的投影，  ，过作  ，垂足点为，连接  ， 则易得  ，点的轨迹是以  为焦点，  为准线的抛物线的一