2.1.1-2.1.2 圆的标准方程 圆的一般方程（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

2.1.1-2.1.2 圆的标准方程 圆的一般方程 第2章 圆锥曲线 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 圆的标准方程 动点的轨迹方程 圆的一般方程 01 03 02 CONTANTS 目 录 圆的标准方程 01 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写。 如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示? 要建立圆的方程，我们首先要考虑确定一个圆的几何要素。 思考1：在初中， 圆是怎样定义的？ 提示：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 定点——圆心——确定圆的位置 定长——半径——确定圆的大小 思考2: 在平面直角坐标系中，确定一个圆的几何要素是什么呢？ 提示：在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了. 因此，确定圆的几何要素是：圆心和半径. 思考3: 已知圆心A的坐标为,半径为r，设圆上任意一点 M（x, y），如何求该圆的方程？ 如图 圆心A的坐标为,半径为r， M（x, y）为圆上任意一点，☉A就是以下点的集合 . 根据两点间的距离公式，点M的坐标（x, y）满足条件可以表示为 两边平方，得 ⑴ 方程（1）是圆心为A ，半径为r 的圆的标准方程. 圆的标准方程有哪些特点？ 是关于x, y的二元二次方程； ②方程明确给出了圆心坐标和半径； ③确定圆的方程必须具备三个独立条件，即a, b, r. 方程 ① ， ② ③ 是圆的方程吗？ 提示： ① 是圆的方程，其中，圆心（-a, -b）,半径r. ② 不是. ③ 当m>0时，是圆的方程； 当m=0时，表示一个点； 当m<0时, 不是圆的方程. 探究 点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？ 提示： 点在圆内，则 ； 点在圆外，则 点与圆 的位置关系如何判断？ 提示： （1） , 点在圆外； （2） ，点在圆上； （3） ，点在圆内. 例2 △ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求△ABC的外接圆的标准方程. 解： 法一：待定系数法 设所求的方程是 ① 因为 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是 即 两两相减，得 得 代入 ， 得 所以，△ABC的外接圆的标准方程是 . 例2 △ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求△ABC的外接圆的标准方程. 法二： 几何法 三角形外接圆的圆心是三角形的外心，即三边中垂线的交点。分别求直线AB，BC的垂直平分线，垂直平分线的交点O就是圆心坐标，线段AO的长就是圆的半径。如图所示。 因为 A（5，1），B（7，-3），所以AB的中点D的坐标为（6，-1）， 直线AB的斜率 所以线段AB的垂直平分线的方程 即：x-2y-8=0 同理可得线段BC的垂直平分线的方程是 x+y+1=0 圆心O的坐标是方程组 的解. 得 圆心O（2，-3） 半径是 所以，△ABC的外接圆的标准方程是 . 例3 已知圆心为C的圆经过A（1，1） B（2，-2）两点，且圆心C在直线 l: x-y+1=0 上，求此圆的标准方程. 分析： 设圆心C的坐标为（a, b）. 由已知条件可知，，且a-b+1=0. 由此可求出圆心坐标和半径. 另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另外一种解法. 解法1： 设圆心 C的坐标（a, b） 则 a-b+1=0 ① 因为A，B是圆上两点，所以 所以 即 a-3b-3=0 ② 由①②可得 a=-3, b=-2. 所以圆心C的坐标为（-3，-2） 半径 所以，圆的标准方程是 . 圆的一般方程 02 问题： 前面，我们学习直线方程，都研究了哪些问题 ？ 提示： 确定直线位置的几何要素：点、方向 直线的倾斜角和斜率 直线的点斜式方程、直线的两点式方程等 直线的一般式方程 问题2 类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程？ 提示： 问题3 圆的方程是否也有一般式？ 确定圆的几何要素：圆心、半径 圆的标准方程 圆的一般式方程？ 思考 圆的标准方程 可以变形为 ⑵ 的形式. 反过来，形如⑵的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？ 例如， 变形为 因为任意一个点的坐标（x, y）都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何