3.4.3 求角的大小(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

3.4.3 求角的大小 分层练习 题型1：异面直线夹角的向量求法 1．长方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 . 2．如图，在三棱锥中，，若，则直线与所成角的大小是 .    3．如图，在正四面体中，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 题型2：已知线线角求其他向量 4．设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是 ． 5．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点在面上，且，则线段长度的取值范围为 ． 6．已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点，若直线上有一点，使，则 . 题型3：线面角的向量求法 7．已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平 面所成角的正弦值为 . 8．在正方体中，点在线段上运动，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 9．如图1，已知为直角三角形，于点，现沿将折成的二面角如图2，则与平面所成角为 .                      图1                   图2 题型4：已知线面角求其他向量 10．如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则 .    11．如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝ ．    12．如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 题型5：面面角的向量求法 13．若、分别是平面、的法向量，且，，，则的值为 ． 14．已知四边形为矩形，平面，设，则平面与平面夹角的余弦值为 . 15．如图，在正方体中，和分别为底面和侧面的中心，则二面角的余弦值为 . 题型6：已知面面角求其他向量 16．在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ． 17．如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则当平面与平面所成角的余弦值为时，三棱锥的体积为 .    18．如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，，分别是，上的动点，且，则的最小值是 ． 题型7：向量法求夹角大小综合解答题 19．如图，在直三棱柱中，分别为的中点．      (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 20．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点. (1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置. 21．如图，已知四棱锥，平面平面，为梯形，，，. (1)求证：⊥平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)已知点在线段上，且，求平面与平面所成角的余弦值. 22．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点. (1)证明：平面平面： (2)若直线与平面所成角的正弦值为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 题型8：翻折问题 23．如图，在梯形ABCD中，，，，E为边AD上的点，，，将沿直线CE翻折到的位置，且，连接PA，PB． (1)证明：； (2)Q为线段PA上一点，且，若二面角的大小为，求实数λ的值． 题型9：存在性问题 24．如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 25．如图，已知四边形和都是直角梯形，，，，，，，且二面角的大小为．      (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 26．如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，为的中点，点为线段上一动点，且． (1)若点为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 一、填空题 1．三棱锥中，两两垂直，，点为平面内的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值 ，若记直线与直线的所成角为，则的取值范围为 . 2．如图，在中，，过中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . 3．在直四棱柱中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且，点在边上，且满足，动点在该四棱柱的表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹围成的图形的周长为 ；当与平面所成角最大时，异面直线与所成