3.4.3 求角的大小（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

3.4空间向量在几何体中的应用 3.4.3 求角的大小 第3章 空间向量及其应用 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 求直线与直线的夹角 二面角 求直线与平面所成角 01 033 02 CONTANTS 目 录 求直线与直线的夹角 01 问题1：如何利用空间向量研究角度问题？ 直线与直线所成的角 直线与平面所成的角 平面与平面所成的角 直线方向向量的夹角 方向向量与法向量的夹角 法向量的夹角 追问1：两条直线夹角的定义是什么？ // 规定与的夹角为 追问2：两条直线夹角的取值范围是什么？ 平面内，两条直线， 相交向形成4个角，其中不大于90°的角称为两条直线与 成的角（或夹角）. 空间中，两条异面直线， ，经过空间任一点O分别做直线’ ∥ ， ’ ∥ ，我们把直线’与’所成的角叫做异面直线与 成的角（或夹角）. 追问3：两条直线的夹角与它们方向向量的夹角<, >有什么关系？ 本质：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角。 例题1.如图，在棱长为的正四面体(四个面都是正三角形)中分别为的中点，求直线和平面所成角的正弦值. 解： (建系)如图取中点为点，由题可知为正三角形， ，如图，以点为原点， 为轴， 为轴,建立空间直角坐标系 (求点坐标)则 ，， (求相关向量坐标)从而， 又由题易知为平面的法向量 (进行向量运算) (回到图形问题) 直线和平面所成角的正弦值为 用空间向量求两条直线，夹角的步骤与方法： 化为向量问题 进行向量运算 ①转化为求两直线，的方向向量，的夹角 回到图形问题 ③两条直线，夹角的余弦值 求直线与平面所成角 02 探究：如图，设直线AB的方向向量为 ，AC⊥平面α，垂足为C，平面α的法向量为，思考：直线AB与平面α所成的角是哪个角？这个角与向量的夹角〈 ，〉之间满足什么关系式？ 直线AB与平面α所成的角是∠ABC＝θ ， ，sin θ＝|cos〈 ，〉|.　　 直线与平面所成的角的向量表示式：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为θ， 直线的方向向量为 ，平面的法向量为，则sin θ＝|cos〈 ，n〉|＝. (2)当 ，与α，l的关系如右图所示时，l与α所成的角与两向量所成的角的补角互余．此时，sinθ＝-cos〈 ，〉. 思考：设平面α的斜线l的方向向量为 ，平面α的法向量为，l与α所成的角的公式为什么不是cosθ＝？ (1)当 ，与α，l的关系如右图所示时，l与α所成的角与 ，所成的角互余．即sinθ＝cos〈 ，〉 例题2.如图，在棱长为的正四面体(四个面都是正三角形)中分别为的中点，求直线和平面所成角的正弦值. 解： (建系)如图取中点为点，由题可知为正三角形， ，如图，以点为原点， 为轴， 为轴,建立空间直角坐标系 (求点坐标)则 ，， (求相关向量坐标)从而， 又由题易知为平面的法向量 (进行向量运算) (回到图形问题) 直线和平面所成角的正弦值为 用空间向量求直线平面所成角的步骤和方法： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求直线的方向向量与平面法向量的夹角 ③直线平面所成的角的 正弦值 求二面角 03 平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角 如图，设平面α，β的法向量分别是和，平面α与平面β所成的夹角为θ， 思考：角θ与向量的夹角〈，〉满足什么关系式？ 设平面α，β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝. 例题3. 在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，是的中点，求平面与平面的夹角. 解：如图，建立空间直角坐标系，设 则 设平面的法向量为 由，得 令得取 用空间向量求平面与平面所成角的步骤和方法： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题（观察法） ①转化为法向量的夹角 ③ 题型 1　利用向量法求两异面直线所成角 例1　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角． 题型探究 解析：分别以直线BC，BA，B1B为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)． 设AB＝1，则B(0，0，0)，E(0，，0)，F，C1(1，0，1)， 所以＝＝(1，0，1)． 于是，〉＝＝＝， 所以直线EF和BC1所成角的大小为60°. 方法归纳 利用坐标法求两异面直线所成角的步骤