3.4求角的大小（第2课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

3.4求角的大小 （第2课时） 第 3 章空间向量及其应用 沪教版2020选修第一册 学习目标 1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量 方法求两 异面直线所成角. 2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间 的关系,会用向量方法求直线与平面所成角. 3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求 二面角的大小. 1.异面直线的夹角 例4.如图３- ４- ５，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E、F分别是AD、AB的中点．求直线B′E与C′F所成角的大小． 1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角. 思路分析:建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角. 解:分别以直线BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图). 1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤. (1)建立适当的空间直角坐标系. (2)求出两条异面直线的方向向量的坐标. (3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角. (4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角. 2.求两条异面直线所成的角的两个关注点. (1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角. (2)范围:异面直线所成角的范围是 ,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值. 归纳总结 2.直线与平面的夹角 立体几何中常见的有关角的问题还有直线与平面所成角和平面与平面所成的角（二面角）．确定这两类角的大小，都可以通过直线的方向向量及平面的法向量转化为两个向量夹角的问题加以解决．当然，为得到最终的解答，必须知道所要讨论的角与转化后的向量夹角的关系，对此我们阐述如下： 从图３- ４- ６ 可以看出，直线与平面垂线（法向量所在直线）所成的角和直线与平面所成的角的关系：如果直线与平面所成的角为θ，那么直线与平面垂线（法向量所在直线）所成的角为 －θ． 图３- ４- ７则显示了二面角的平面角和它的两个半平面所在平面的法向量夹角大小的关系．因为一个平面的法向量垂直于该平面内的所有直线，所以法向量夹角的两条边垂直于二面角的平面角相应的边．从平面几何知道，这样两个角或者相等，或者互补． 例5.如图３-４-８，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD， ｜PA｜＝｜AB｜＝｜BC｜＝１，｜CD｜＝ ，∠CDA＝４５°．求直线PB与平面PCD所成角的大小． 2.如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4, M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明MN∥平面PAB; (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 思路分析:(1)线面平行的判定定理⇒MN∥平面PAB. (2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角⇒直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 用空间向量求直线平面所成角的步骤和方法： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求直线的方向向量与平面法向量的夹角 ③直线平面所成的角的 正弦值 17 3.平面与平面的夹角 例6.如图３-４-９，在正四棱锥P—ABCD中，｜PA｜＝｜AB｜＝２ ，点E、F分别为PB、PD的中点．若平面AEF与棱PC交于点G，求平面AEGF与平面ABCD所成的二面角 解：①化为向量问题 ②进行向量运算 ③回到图形问题 利用平面的法向量求二面角 利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来. 归纳总结 课本练习 THANKS “ ” 设AB=1,则B(0,0,0),E,F,C1(0,1,1), 所以=(0,1,1). 于是cos<>=, 所以直线EF和BC1所成角的大小为60°. (1)证明:由已知得AM=AD=2. 如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC 的中点知TN∥BC,TN=BC=2. 又AD∥BC,故TN∥AM且TN=AM, 所以四边形AMNT为平行四边形, 于是MN∥AT. 因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB, 所以MN∥平面PAB. (2)解:如图,取BC的中点E,