6.3 实践与探索八（一元一次方程应用几何问题）-2023-2024学年七年级数学下册寒假预习精讲精练（华东师大版）

6.3 实践与探索八（一元一次方程应用几何问题） 知识点： 物体：变形前的体积=变形后的体积 图形：分割前的面积=分割后的面积、容积、周长相等 周长公式：长方形=2（a+b） 正方形=4a 圆=2πr 三角形=a+b+c 面积公式：长方形=ab 正方形=a2 圆=πr2 三角形= ah 体积公式：长方体=abc 正方体=a3 圆柱=πr2h 圆锥=πr2h 球体=πr3 例．【发现问题】 数学活动课上，王老师出示了一个问题： （1）一张长方形纸片，长是宽的2倍，如图1和2，若纸片宽是xcm，在纸片的四个角各剪去一个同样大小的边长为4cm的小正方形，折成一个无盖的长方体，则无盖长方体的底面宽为______cm，长是______cm；如图3，同样大小的长方形纸片剪去边长4cm的2个小正方形和2个大小和形状相同的宽为4cm的长方形，折成有盖的长方体，底面宽为______cm；长是______cm；（用含x的代数式表示） 【提出问题】 （2）一张长方形纸片，长是宽的2倍，如图1和2，在纸片的四个角各剪去一个同样大小边长为4cm的小正方形，折成一个无盖的长方体，若无盖长方体的底面长方形的长是宽的2.5倍，求折成的长方体的底面积； 【能力拓展】 （3）王老师带着同学们作进一步的探究： 如图3，一张长方形纸片，长是宽的2倍，在纸片的四周剪去2个边长为4厘米的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，若折出的有盖的长方体底面的长是宽的1.2倍，求折出的有盖长方体的体积； 【解决问题】 （4）数学活动小组的同学在上述条件不变的情况下对这个问题进一步研究： 把上面（3）折成的有盖的长方体的盒子装满水，倒入（2）中折成的无盖的长方体盒子里，请求出无盖长方体内水的高度（两个盒子都不漏水）． 【答案】（1），，，（2）（3）（4）无盖长方体内水的高度为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）利用长方形的长减去2个正方形的边长，宽减去两个正方形的边长即可得到无盖长方体底面的长和宽，用长方形的宽减去2个正方形的宽，长减去2个正方形的长再除以2，即可得到有盖长方体的底面的长和宽； （2）根据无盖长方体的底面长方形的长是宽的2.5倍，列出方程求出的值，进而求出长和宽，长乘宽求底面积即可； （3）根据题意，结合（1）中的代数式，列出方程求出长和宽，再利用长乘宽乘高进行计算算即可； （4）根据水的体积相同，列出方程进行求解即可． 正确的识图，找准等量关系，正确的列出代数式和方程进行求解即可． 【详解】解：（1）因为长是宽的2倍， ∴长为， 由题意，得：无盖长方体底面的宽为：，长为：， 有盖长方体底面宽为：，长为：， 故答案为：，，，； （2）设纸片宽是xcm，由（1）知：无盖长方体底面的宽为：，长为：， 由题意，得：， 解得：， ∴，， ∴底面面积为：； （3）设纸片宽是xcm，由（1）知：有盖长方体底面的宽为：，长为：， 由题意，得：， 解得：， ∴， ∴长方体的体积为：； （4）设无盖长方体内水的高度为，由题意，得：， 解得：； 答：无盖长方体内水的高度为． 针对训练 1．张叔叔在一块正方形菜园中按如图的方法划分出两块地用来种胡萝卜和青菜，胡萝卜地的宽是，青菜地的宽是，这样划分后，青菜地和胡萝卜地的面积恰好相等，这块正方形菜园的边长是（    ） A． B． C．8.5m D． 2．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则阴影部分图形的总面积为_______． 3．在党的富农政策的支持下，李大爷将自家土地开发为适宜观光旅游、拍照摄影的油菜花田基地，如下图所示：有一块长方形的土地，长是宽的倍，在土地上的南北两侧各铺设宽度为的甬道供游人行走观赏，已知油菜花的种植区域的长和宽的比为，求这块土地的长． 综合训练 一、单选题 1．已知一个小长方形的长和宽分别是和2，当5个形状、大小相同的小长方形拼成一个如图所示的大长方形，所标尺寸如图所示，求图中阴影部分面积是（    ） A．18 B．27 C．29 D．33 2．已知与互为补角，并且的2倍比大，则，分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．一个底面半径为，高为的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入底面直径为的圆柱形小杯中，刚好倒满6杯，则小杯的高为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，射线，分别平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图