2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数证明题（线段周长问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数证明题（线段周长问题） 1．已知抛物线交y轴于点B，交x轴于点C，抛物线顶点为A，点P是抛物线上的动点，其横坐标为n．    (1)求证：抛物线与x轴一定有交点． (2)当时， ①当点P在x轴下方时，结合图象直接写出n的取值范围； ②若点C在如图1位置，当点P位于第四象限时，过点P分别作直线，y轴的垂线段．求当n为何值时，的长度最大． (3)是否存在一定点D，无论m取何值，抛物线都经过该定点？若存在，则以为边作等腰直角三角形，此时若点G恰好落在此抛物线的对称轴上，直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，二次函数的图象F交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且，直线l：交图象F于M，N两点（点M在点N左侧）．      (1)求二次函数的解析式； (2)已知点，当，且时，求k的值； (3)如图2，设图象F的顶点为P，线段的中点为S，连接，求证：不论k取何值，的值不变． 3．已知抛物线经过、两点（点在点的左侧），与轴交于点，，． (1)如图1，求此抛物线的表达式； (2)如图2，直线经过点，交于点，点为线段的中点，过点作轴于点，作于点，连结、． ①求证：是等腰直角三角形； ②当的周长最小时，求直线的表达式． 4．如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点A(2,)，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2． （1）求抛物线L的解析式； （2）点P是抛物线L上一动点． ①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由； ②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最小时，求点P的坐标； （3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切． 5．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，（点在点的左侧）两点．点是该抛物线上任意一点，过点作平行于轴的直线交于，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，． (1)已知：，，． ①如图①，当点的横坐标为1，直线轴且过抛物线与轴的交点时，________，________； ②如图②，当点的横坐标为2，直线的解析式为时，________，________． (2)由（1）中两种情况的结果，请你猜想在一般情况下与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)若，点，的横坐标分别为，2，点在直线的上方的抛物线上运动（点不与点，重合），在点的运动过程中，利用（2）中的结论求出的最大面积． 6．已知抛物线（a，b，c为常数，a≠0）.抛物线顶点为C，与x轴分别交于点A,B（点A在点B左边），△ABC为等腰直角三角形. (1)当a＞0，c=0，抛物线经过点M（m，t）和N（6-m，t），求抛物线的解析式； (2)求的值； (3)若经过点B的直线l与抛物线只有一个公共点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，与直线l交于点F，求证：点C是线段EF的中点. 7．已知抛物线C：，顶点为． (1)求b，c的值； (2)若，抛物线与直线L：相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值； (3)点为y轴正半轴上一定点，点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若，求证：直线经过一个定点． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)判断△ABC的形状，证明你的结论； (3)点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM的周长． 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，连接，，点D在抛物线上一点． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)连接，如图1，若平分，求点D的坐标； (3)如图2，若点D是线段的下方抛物线上一点，过点D作于点E，求的最大值． 10．如图，抛物线y=mx+2mx-3m(m≠0)的顶点为H，与轴交于A、B两点（B点在A点右侧），点H、B关于直线l：对称，过点B作直线BK∥AH交直线l于K点． （1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线I上． （2）求此抛物线的解析式； （3）将此抛物线向上平移，当抛物线经过K点时，设顶点为N，求出NK的长． 11．抛物线与轴交于点A和点B（点A在原点的左侧），与轴交于点C，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，过线段上一点E作轴，在第一象限交抛物线于点P，轴交于点F，当的面积为时，求点P的横坐标； (3)如图2，D为对称轴右边抛物线上的任意一点，连接，分别交于M、N两点，试证明为定值． 12．已知抛物线的顶点为，与y轴交于点，点为其对称轴上的一个定点． (1)求