2024年中考数学高频考点突破——相似三角形

2024年中考数学高频考点突破——相似三角形 1．【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，，为延长线上一点，连接，过点作于点．在图中找出与一定相等的角，并证明．    (1)【独立思考】 请解答王老师出示的问题． (2)【实践探究】 在原有问题条件不变的情况下，王老师通过增加新条件，并提出了新问题：如图2， 与交于点，若，，，求的长度． (3)【问题解决】 在（2）的条件下，数学活动小组的同学提出了下面的问题：如图3，为上的一点，且， ① 证明； ② 该小组研究后发现，延长交于点．根据线段与的长度，可以求出图3中所有已经用字母标记的线段长度．请你求出的长． 2．综合与实践． 模型启迪： （1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接．由，得，则与的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　．    模型探索： （2）如图2，在中，平分，为边的中点，过点作，交的延长线于点，交边于点．试判断与的数量关系，并说明理由． （3）图3，在中，为边的中点，连接，为边上一点，过点作于点，连接交于点，且．求证：． 模型应用： （4）如图4，在（3）的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，请直接写出线段的长． 3．如图，在菱形ABCD中，已知，以AB为一边作正方形AEFB，连接CE交BD于M，交AB于N．    (1)求的度数； (2)求的值； (3)求证；． 4．综合与实践：    (1)问题情景：如图1，已知等边和它内部一点D，把线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，射线交于点F，则与数量关系是___________， __________°． (2)类比探究：如图2，在等腰中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，将绕点A旋转得到，连接，，在旋转的过程中，设直线交于点F，探索和的数量关系和的度数； (3)拓展应用：如图3，在中，，以为斜边作等腰直角三角形，若求线段的长（直接写出答案）． 5．在中，为边上一点．    (1)如图1，若，求证：． (2)若为的中点，， ①如图2，若，，求的长； ②如图3，若，，直接写出的长． 6．如图1，在平行四边形中，，对角线相交于点O，过点O的直线与交于点M，与的延长线交于点N，．    (1)求证：； (2)求的值； (3)如图2，将直线向下平移与交于点E，过E作交于F，若，直接写出的值．（用含m的代数式表示） 7．课本再现： (1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 　 　；    迁移应用： (2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题． ①求证：； ②若，求证：； 拓展提升： (3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为 　 　 8．如图1，菱形中，，．点为射线上一动点，在射线上取一点，连接，，使．作的外接圆，设圆心为． (1)当圆心在上时，___________； (2)当点在边上时， ①判断与的位置关系，并证明； ②当为何值时，有最大值？并求出最大值； (3)如图2，连接，若，则；将优弧沿翻折交射线于点，则的弧长___________． 9．如图，是的直径，弦于点，点是上一点，且，连接，，交于点．    (1)若，，求的半径； (2)连接并延长，交的延长线于点，过点作的切线，交的延长线于点．求证：． 10．如图1，在正方形中，，为对角线上的一点（不与点，重合），为边上一点，连接，，且．    (1)求证：． (2)若，求的值． (3)如图2，连接交于点，若，求的长． 11．在正方形中，，F为对角线上一动点，连接，以为斜边向右下方作等腰直角，连接．    (1)如图1，当点E落在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E不在线段上时，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)当时，求线段的长； (4)若点F从点B运动到点D，直接写出点E经过的路径长． 12．如图，正方形的边长为，为对角线上一动点，以为直角顶点作交直线于点，交直线于点，    (1)如图，若点与对角线交点重合时，求证：． (2)如图，若点为线段中点时， ①求证：； ②如图，当点在线段延长线上，且点使得，分别交，于，，则线段的长为______直接写出答案． 13．【问题提出】 （1）如图①，在中，点D在边上，，且，则　　； 【问题探究】 （2）如图②，在中，， ，求出面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某市政中心计划由旧城改造出一块三角形空地，并拟定在中建一个户外健身区，其占地平面示意图为四边形，其中D为