2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最值

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最值 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点．其中，．    (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值； (3)若函数在其中范围内的最大值为，最小值为，且，求的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，顶点坐标为．    (1)若函数图像关于直线对称，求函数的表达式； (2)求的最大值； (3)是否存在实数a，使得当时，二次函数的最大值为最小值的3倍，若存在，求出a：若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A和点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是抛物线上一点，满足，求点P的坐标； (3)若点Q在第四象限内，且，点M在y轴正半轴，，线段是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由． 4．已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若，， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 　 (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标． 6．如图1，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，顶点是D． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标D； (2)如图1，点是线段上的动点（不与B，D重合），轴于F，设四边形的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值； (3)如图2，将抛物线向下平移k个单位长度，平移后的顶点为，与x轴的交点是，．若的外心在该三角形的内部，直接写出k的取值范围． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C，连接，D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P为直线下方抛物线上的一动点，过P作于点E，过P作轴于点F，交直线于点G，求的最大值，以及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程． 8．已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线解析式和直线的解析式； (2)如图（1），若点P是第四象限抛物线上的一点，若，求点P的坐标； (3)如图（2），点M是直线上方抛物线上的一个动点（不与A、C重合），过点M作垂直于点H，求的最大值． 9．如图，二次函数交x轴于点和点，交y轴于点C，过点C作轴，交抛物线于另一点D．      (1)求该二次函数所对应的函数解析式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一个动点，轴，轴，求线段的最大值； (3)如图2，点M是线段上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 10．如图1，抛物线与x轴交于A，B．两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线经过点A，C． (1)求直线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，过点P作于点D，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）问取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，点M为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点N，使得以点P，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交轴于点，是直线上方且在对称轴右侧的一个动点，过作，垂足为，为点关于抛物线的对称轴的对应点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求此时点的坐标和的最大值； (3)将抛物线关于直线作对称后得新抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点，是新抛物线对称轴上一点，是平面中任意一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 12．已知抛物线与x轴交于两点． (1)直接写出抛物线的函数解析式； (2)如图1，M是抛物线顶点