湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考数学试题

湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考 高三数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2 已知复数满足，则（ ） A 3 B. C. 7 D. 13 3. 陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ ） A B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中为原点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于，两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B. 若随机变量，满足，则 C. 若随机变量，且，则 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列 B. 若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列 C. 若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列 D. 若数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件 11. 已知，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知四棱锥，底面是正方形，平面，，与底面所成角的正切值为，点为平面内一点，且，点为平面内一点，，下列说法正确的是（ ） A. 存在使得直线与所成角为 B. 不存在使得平面平面 C. 若，则以为球心，为半径的球面与四棱锥各面的交线长为 D. 三棱锥外接球体积最小值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 的展开式中，的系数为______． 14. 与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为_________． 15. 已知函数，若，则实数的取值范围为_________． 16. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则_________；若，则的最大值为_________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，若，边的中线长为2． （1）求角； （2）求边的最小值． 18. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为6等边三角形，，，，分别是线段，的中点，平面平面． （1）求证：平面； （2）若点为线段上的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 20. 已知椭圆的左焦点为，且过点． （1）求椭圆标准方程； （2）过作一条斜率不为0的直线交椭圆于、两点，为椭圆的左顶点，若直线、与直线分别交于、两点，与轴的交点为，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 21. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为． （1）求的概率分布列并求； （2）求证：（且）为等比数列，并求出（且）． 22. 已知函数，． （1）当时，求证：； （2）函数有两个极值点，，其中，求证：． 湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考 高三数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B