2024年九年级中考数学复习二次函数之相似三角形存在性问题

中考数学压轴题专项练习 二次函数之相似三角形存在性问题 1．（2023秋•长宁区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、和点，与y轴交于点E． （1）求该抛物线的表达式及点D的坐标； （2）将抛物线平移，点D平移到点． ①定义：如果有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物线上，那么称这个点为“平衡点”． 如果平移所得新抛物线经过原点，且点D是“平衡点”，求的长； ②如果平移所得新抛物线的顶点F在x轴正半轴上，与y轴交于点P，且与相似，求点F的坐标． 2．（2023•包头模拟）如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2023•建华区三模）如图，抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点，连接AC．抛物线的对称轴与x轴交于点D，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点（不于B、C重合），过点E作交BC于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是y轴上一动点，当的和最小时，点P的坐标为 ； （3）求四边形CDBE面积的最大值及此时E点的坐标； （4）是否存在点E，使与相似，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023•小店区校级模拟）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． （1）求k的值及抛物线的解析式． （2）如图①，若点D为直线AC上方抛物线上一动点，当时，求D点的坐标； （3）如图②，若F是线段OA的上一个动点，过点F作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、E，连接CE，设点F的横坐标为m． ①当m为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 5．（2023•开江县二模）如图，已知抛物线经过点，，三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M． （1）求该抛物线的表达式； （2）已知点，当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？ （3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2023春•新城区校级月考）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，顶点为D，抛物线与关于x轴对称． （1）求抛物线的表达式及点D的坐标； （2）已知点E是抛物线的顶点，点P是抛物线上一个动点，且在对称轴右侧，过点P向对称轴作垂线，垂足为F，若以P、E、F为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 7．（2023•锦江区校级三模）已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D． （1）如图1，当时， ①求该二次函数的解析式； ②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点Q，求的最大值； （2）如图2，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与相似． 8．（2022秋•朝阳期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； （3）若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标； （4）若点E为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在x轴、y轴上分别找点M、N使四边形EFMN的周长最小，求出点M、N的坐标． 9．（2023•微山县三模）如图，顶点为的抛物线经过原点O，且与直线交于B，C两点（点C在点B的右边）． （1）求抛物线的解析式； （2）猜想以点A为圆心，以AC为半径的圆与直线BC的位置关系，并加以证明； （3）若点P为x轴上的一个动点，过点P作轴与抛物线交于点Q，则是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2023•惠城区一模）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，连接AC，BC． （1）求的面积； （2）点M为y轴上一点，是否存在点M，使得与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P为抛物线上一点（点P与点B不重合），且使得中有一个角是，请直接写出点P的坐标． 11．（2023•临高县模拟）如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点M为抛物线的