精品解析：重庆市缙云教育联盟2024届高三高考第一次诊断性检测数学试卷

重 庆 缙 云 教 育 联 盟 2024年高考第一次诊断性检测 数学试卷 考生须知： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回； 4.全卷共6页，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共7小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. ，则的共轭复数等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数满足：，，成立，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 则 B. 则 C. 则 D. 则 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则方程在区间上所有实根之和为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 12 7. 已知，，，，，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的. 8. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. E. 9. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点，为线段的中点，则（ ） A. 若，则到准线距离的最小值为 B. 若，且，则到准线的距离为 C. 若，且，则到准线的距离为 D. 若过焦点，，为直线左侧抛物线上一点，则面积的最大值为 E. 若，则到直线距离的最大值为 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（ ） A. 函数 偶函数 B. 函数 的值域是 C. 对于任意的 ，都有 D. 在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形 E. 在 图象存在不同三个点 ，使得 为等边三角形 三、填空题：本题共4小题. 11. 已知为圆：上一点，则的取值范围是___________. 12. 已知二项式展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为_______． 13. 椭圆上的点P到直线的最大距离是______；距离最大时点P坐标为______. 14. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是________. 四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为.已知． （1）求； （2）若为的中点，且，求． 16. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求证： （2）在与间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 17. 已知函数（a为常数）. （1）求函数的单调区间； （2）若存在两个不相等的正数，满足，求证：. （3）若有两个零点，，证明：. 18. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，设的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知点，，，在上，且直线与相交于点，记，的斜率分别为，． (i) 设的中点为，的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，； (ii) 若，当最大时，求四边形的面积． 19. 某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值. （1）为评估设备对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系，现取了8对观测值，求与的线性回归方程. （2）为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）； ①；②；③. 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能