夯基专题20 概率、随机变量及其分布讲义-2024届高三数学二轮专题复习

夯基专题20 概率、随机变量及其分布 【核心知识】考向一 概率 考点一：古典概型求概率 1.一般地，设试验E是古典概型试验，样本空间包含个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率. 2.计算样本点数：①利用计数原理计数；②列举法. 考点二：独立事件 1.判断事件是否相互独立的方法 ⑴定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)． ⑵由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． ⑶条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． 2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 考点三：条件概率 1.条件概率的求法 ⑴定义法:分析题意，弄清概率模型；计算，；代入公式求. ⑵借助古典概型：先求事件 A包含的样本点数，再求事件 包含的基本事件数，进而求 . ⑶缩样法:即缩小样本空间的方法， 2.条件概率具有的性质： ⑴； ⑵如果和是两互斥事件，则． 3.全概率公式 (1)； (2)若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，； ②； ③. 则对中的任意事件，都有，且P(B)＝＝. 【典例精讲】 例1.(2023·广东省广州市模拟) “总把新桃换旧符”王安石、“灯前小草写桃符”陆游，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有人领取的礼品种类相同的概率是(    ) A. B. C. D. 例2.(2023·湖北省咸宁市月考) 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为          ． 例3.(2023·湖南省长沙市期末) 选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为． 若采用局胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？ 若采用局胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？ 【拓展提升】 练1-1(2023·湖南师大附中一模)（多选） 甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(    ) A. 事件与事件相互独立 B. C. D. 练1-2(2023·云南省昆明市月考) 鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天．据统计，某超市一天卖出鲜花饼箱的概率为，卖出箱的概率为，卖出箱的概率为，没有卖出的概率为，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出箱及以上，则需补货至箱，否则不补货．假设第一天该超市开始营业时货架上有箱鲜花饼． 在第一天结束营业后货架上有箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率； 求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率． 考向二 随机变量的分布列 【核心知识】 考点一：离散型随机变量的分布列及其数字特征 1．离散型随机变量的分布列的两个性质 (1)； (2). 2．离散型随机变量的期望、方差 (1). (2)，标准差为. (3)期望、方差的性质 ①； ②若． 3.常见的随机变量的概率分布模型 (1)二项分布：在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率，； (2)超儿何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，其中. (3)正态分布：若，则正态曲线关于直线对称，常借助图象的对称性求随机变量落在某一范围内的概率. 考点二：分布列的求法 1.与排列、组合有关分布列的求法．由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列． 2.与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率， 再求出分布列． 3.与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列． 4.与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列． 考点三：期望与方差的实际应用 数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度． 1.若实际的平均水平高较好，则先求随机变量的期望，当时