2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数的最值

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数的最值 1．如图，在矩形 中， 是 边上的动点，连结 ，过点 作 交 于点 . （1）若 ，则 的长为　 　； （2）在点 运动的过程中， 的最大值为　 　. 2．某网店经市场调查，发现进价为40元的某新型文具每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下： 售价x（元） 60 70 80 90 … 销售量y（件） 280 260 240 220 … （1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是　 　（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”），并求这个函数关系式； （2）当售价为多少元时，当月的销售利润最大，最大利润是多少； （3）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大，最大利润是多少？ 3．已知二次函数 的图象过点A（ 1，0），点B（3，0）和点C. （1）若点C(0，3)，求二次函数表达式； （2）若点C(m，n)，证明：当 时，总有am2+bm a+b . 4．某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝ （0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝ （1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数表达式； （2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元） ①求w关于t的函数表达式； ②未来两年内，当月销售量P为时，月毛利润为w达到最大. 5．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．平面直角坐标系中，抛物线y = - +2ax + 1 - a(a为常数)的顶点为A. （1）当抛物线经过点(1，2)，求抛物线的函数表达式； （2）求顶点A的坐标(用含字母ɑ的代数式表示)，判断顶点A在x轴的上方还是下方，并说明理由； （3）当x ≥0时，抛物线y = - + 2ɑx + 1 - ɑ(ɑ为常数)的最高点到直线y = 3ɑ的距离为5，求ɑ的值. 7．某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y=﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元. （1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元； （2）该文具店这种笔记本每月获得利润为W元，求每月获得的利润W元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 8．在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C． （1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当△PAB面积最大时，求点P的坐标； （2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时， ①求m的取值范围； ②求线段BC长度的最大值． 9．已知二次函数y=ax2+4ax+3a(a为常数)． （1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式，： （2）若a>0，当x<时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围， （3）若二次函数在-3≤x≤1时有最大值3，求a的值． 10． 在平面直角坐标系中，点，，已知抛物线为常数，，与轴相交于点，为顶点． （1）当抛物线过点时，求该抛物线的顶点的坐标； （2）若点在轴上方，当时，求的值； （3）在的情况下，连接，，点，点分别是线段，上的动点，且，连接，，求的最小值，并求此时点和点的坐标． 11．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-6x+6与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B. （1）抛物线解析式为　 　； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到