13.5.2线段垂直平分线 课件 2023—2024学年华东师大版数学八年级上册

13.5.2 线段垂直平分线 舒适的人居环境 新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！ · 市政府为了完善公共服务体系，创建良好的人居环境计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个垃圾回收站，试问，该垃圾回收站应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。 A B C 思考：生活中的数学 A B PA=PB P1 P1A=P1B …… 命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 P M N C 1、作线段AB的中垂线MN，垂足为C； 探究新知一 1、动手操作 3、量一量：PA、PB的长，你能发现什么？ 2、在MN上任取一点P，连结PA、PB； 你发现了什么？ ∟ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB. A C B P M N 证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90º 在 ΔPAC和Δ PBC中， 　AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC（SAS) ∴PA=PB 探究新知 一 2、证明猜想 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. A C B P M N ∵MN⊥AB 　AC=BC ∴PA=PB 探究新知一 3、几何语言 如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长. B A E D C 运用新知一　　4、练一练 解： ∵DE垂直平分AB(已知） ∴BE=AE(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∵ △BCE的周长等于50（已知） ∴BE+CE+BC=50 ∴AE+CE+BC=50 即AC+BC=50 ∵AC=27 ∴BC=23 探究新知 二 1、回顾与思考 你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗? 逆命题 ：到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗? 如果是,请你证明它. A B P 已知:如图,PA=PB. 求证:点P在AB的垂直平分线上. 分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中点,),然后证明另一个结论正确. C 探究新知 二 2、证明命题 证明：过点Ｐ作ＭＮ⊥ＡＢ,垂足为点Ｃ， 　　　故∠ＰＣＡ= ∠ＰＣＢ=90 ° 　　　在Ｒt △ ＰCA和Ｒt △ ＰＣＢ中， 　　　∵ＰＡ=ＰＢ 　　　　ＰＣ=ＰＣ 　　　∴Ｒt △ ＰCA ≌Ｒt △ ＰＣＢ(ＨＬ) 　　　∴ＡＣ=ＢＣ 　　　∴点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线 C A B P M N 已知:如图,PA=PB. 求证:点P在AB的垂直平分线上. 探究新知 二 2、 证明命题 如果过点P作AB边上的中线呢？怎么证明呢？ A C B P M N ∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上 温馨提示:这个结论是经常用来证明点在直线上。如果要证线段的垂直平分线则可以采用哪些方法呢？ 逆定理 ：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 探究新知 二 3、几何语言 如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建造在什么位置？ A● B● C 运用新知 二　 4、练一练 如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点O。 （1）求证：OA=OB=OC。 A 0 C B 证明：（1）∵点O在线段AB的垂直平分线上 ∴OA=OB ∵点O在线段BC的垂直平分线上 ∴OB=OC ∴OA=OB =OC 结论： 三角形三边的垂直平分线交于一点， 这点到三角形三个顶点的距离相等。 （2）点O是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？ （2）∵OA=OC ∴点O在线段AC的垂直平分线上 探究新知 三 到线段