专题03 求圆锥曲线的离心率及离心率的取值范围（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之解析几何

专题03 求圆锥曲线的离心率或离心率的取值范围 1、椭圆中的最值问题： 2、.在求椭圆离心率范围时常用的不等关系：，，（P为椭圆上一点） 3、焦点三角形： 4、点差法： 5、通径以及通径的推广： (一) 借助平面几何图形中的不等关系 根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率 的范围. 【例1】、（1）已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】关于直线的对称点为,连接交直线于点,则椭圆的长轴长的最小值为,所以椭圆的离心率的最大值为,故选A. 【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值 （2）．（2021·江苏省如皋中学）焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【分析】 根据三角形的面积建立有关的关系，得到，即可求出离心率. 【详解】 由题意，如图： 由椭圆的性质可知，AB＝2c，AC＝BC＝a，OC＝b，，所以，故椭圆离心率． 故答案为：. （3）．（2023上·江苏常州·高二校联考期中）(多选题)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的标准方程，椭圆的定义式，三角形的周长，以及三角形的周长与三角形的内切圆半径的关系，正余弦定理，即可依次得出答案. 【详解】由题意知，，，则，. 对于A选项，因为，解得，又， 则，，故A错误； 对于B选项，的周长为，故B正确； 对于C选项，设的内切圆的半径， 则， 又，， 解得，故C正确； 对于D选项，在中， 由， 解得， 又， 即， 整理得：， 即， 即， 又， 解得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理知： ，即，解得，故D正确. 故选：BCD. 【小试牛刀】（1）．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 若长轴端点，由椭圆性质：过的两条切线互相垂直可得，结合求椭圆离心率的范围. 【详解】 在椭圆的长轴端点处向圆引两条切线，， 若椭圆上存在点，使过的两条切线互相垂直，则只需，即， ∴，得，∴，又， ∴，即．故选：C （2）．（2021·湖南永州·高三）已知椭圆的方程为，､为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解. 【详解】 如图所示，连接､，是的内心， 可得､分别是和的角平分线， 由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点， 则为的角平分线，则到直线､的距离相等， 所以，同理可得，， 由比例关系性质可知. 又因为，所以椭圆的离心率. 故选：A. 【点睛】 求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； 3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. （3）．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，带入椭圆方程作差，利用重心坐标公式，求得，，代入上式，即可求解. 【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得＋＝0.(*) 因为△ABF1的重心为G， 所以故 代入(*)式得， 所以＝＝，即a2＝3b2， 所以椭圆C的离心率e＝. 故答案为： (二) 借助题目中给出的不等信息 根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解. 【例2】、（1）已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　. 【答案】 【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式,然后借助