专题02 直线与圆锥曲线位置关系（弦长与三角形）（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之解析几何

专题02 直线与圆锥曲线的位置关系（弦长与三角形） 知识点一：直线与椭圆联立，求解步骤： 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：计算判别式； 可直接利用结论：（范围、最值问题） 第三步：根与系数关系表达式； ， 第四步：利用 ，计算 第五步：利用，计算 第六步：利用，，计算弦中点 第七步：利用,计算弦长和的面积 进而计算原点到直线的距离 第八步:利用,，计算 第九步：利用,计算 知识点二：弦长问题 （最常用公式，使用频率最高） 知识点三：弦长问题 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 知识点四：圆锥曲线中的三角形的面积 1、三角形面积问题 直线方程： 2、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 必考题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 例1．（1）、（2023·四川南充·统考一模）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线所过定点以及方程表示椭圆来求得的取值范围. 【详解】直线过定点， 所以，解得①. 由于方程表示椭圆，所以且②. 由①②得的取值范围是. 故选：C （2）、（2022·陕西·统考一模）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则b的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出直线所过定点，由定点在椭圆内部或椭圆上，得出参数范围，同时注意椭圆的焦点在轴对参数范围的限制． 【详解】由题意直线恒过定点，要使直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则只需要点在椭圆上或椭圆内，， 又焦点在x轴上，.. 故答案为：． 1．（2023·广东肇庆·肇庆市第一中学校考模拟预测）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案. 【详解】由直线，则可知其过定点， 易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点， 则，解得且. 故答案为：且. 2．（2023·重庆北碚·校联考模拟预测）已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆上两点关于直线对称，则可设直线方程为，将其与椭圆方程联立，令，可算出的范围，又线段的中点也在直线上，结合韦达定理可以算出的关系式，从而得解. 【详解】设，线段的中点， 若此椭圆上存在不同的两点关于直线对称， 所以直线的方程可以设为， 联立，化为， ，解得， 而，所以，即， 代入直线可得， 所以，即实数m的取值范围是. 故选：D. 必考题型二：弦长问题 例2．（1）、（2022·河南郑州·统考三模）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线方程与椭圆方程联立，求得弦长，即可得到最大值. 【详解】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为， 由消去y得， 则，. ∴ ， ∴当时，取得最大值， 故选:D. （2）、（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，．若弦长，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的弦长公式即可得解. 【详解】由题意，直线的斜率不等于零，， 设直线的方程为，，， 联立，消得， 恒成立， 则， 所以， 解得， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 1．（2023·河南·统考模拟预测）斜率为1的直线l过抛物线的焦点F，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】设直线l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，即可求出弦长的表达式，结合的面积求得参数p，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线的焦点F坐标为， 设直线l的方程为，联立， 得，， 设，则， 故，    又点O到直线的距离为， 则，即， 故， 故选：B 2．（2023·全国·模拟预测）抛物线具备有趣的光学性质：由焦点射出的光线经过抛物线反射后，会沿着平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为F，AB为抛物线的过点F的一条弦，若从点F发出的光线分别在点A和点B反射后得到的两条平行直线之间的距离为5，则 ． 【答案】 【分析】首先设，，，由题意中的光学性质可知，，再联立方程，利用韦达定理即可求直线方程，最后代入弦长公式. 【详解