专题03 函数值域倍增或倍减（周期性与类周期性）（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之函数与导数

专题3 函数的值域倍增或倍减 1.函数的周期 对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 【常用结论】 A、 ，函数的周期. B、，函数的周期. C、或，函数的周期. 2.函数的值域 （1）.函数的值域周期性倍增 若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍； （2）.函数的值域周期性倍减 若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍； （3）.函数的周期性 若函数满足或，那么此函数的图像会以，用周期函数的性质求解即可。 (一) 函数周期性的应用 例1．（1）、（2023·全国·模拟预测）已知是定义域为R的奇函数，满足，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．是偶函数 （2）、（2023·广东·校联考二模）设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 . 1、（2023·全国·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则 ． 2、（2020·安徽·校联考三模）已知函数是定义域为 的偶函数，，都有，当时，，则 . (二) 函数值域倍减或倍增 例2.（1）、已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为 . （2）、（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________． （3）、已知定义在R上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）、（2021·全国高一专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1． 定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是______. 3、设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 函数的值域倍增或倍减 1.函数的周期 对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 【常用结论】 A、 ，函数的周期. B、，函数的周期. C、或，函数的周期. 2.函数的值域 （1）.函数的值域周期性倍增 若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍； （2）.函数的值域周期性倍减 若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍； （3）.函数的周期性 若函数满足或，那么此函数的图像会以，用周期函数的性质求解即可。 (一) 函数周期性的应用 例1．（1）、（2023·全国·模拟预测）已知是定义域为R的奇函数，满足，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．是偶函数 【答案】B 【分析】利用是奇函数、可判断C；利用奇函数求出，令可判断A；判断出是以4为周期的周期函数，利用是奇函数可判断D；举反例可判断B. 【详解】由是定义域为R的奇函数，满足， 得，故C正确； 由是定义域为R的奇函数，得．令，则， 即，故A正确； 由，得．将两式相减， 得，所以是以4为周期的周期函数， 所以，因为，所以， 即．由是奇函数， 得，所以是偶函数， 所以也是偶函数，故D正确； 设，则满足已知条件，但，，故B错误． 故选：B． （2）、（2023·广东·校联考二模）设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 . 【答案】 【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解. 【详解】因为是奇函数，且是偶函数， 所以， 所以，即， 故是4为周期的周期函数，且有， 则. 故答案为： 1、（2023·全国·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则 ． 【答案】5 【分析】根据函数奇偶性的性质分析得出该函数的对称性，借助双对称性的周期将求转换为求即可得.