预习07讲 平面向量数量积的坐标表示（精讲+精练）2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019必修第二册）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册） 预习07讲 平面向量数量积的坐标表示（精讲+精练） ①平面向量数量积的坐标表示 ②坐标表示中的垂直问题 ③坐标表示中的模长问题 ④坐标表示中的夹角问题 一、平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 二、两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 三、向量模的坐标表示 （1）向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． （2）两点间的距离公式 已知原点，点，则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． （3）向量的单位向量的坐标表示 设，表示方向上的单位向量 四、两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 五、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 题型一：平面向量数量积的坐标表示 策略方法 平面向量数量积的三种运算方法 【题型精练】 一、单选题 1．已知向量，则（    ） A．0 B．3 C．2 D．1 2．已知，，若，则x等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 6．在矩形ABCD中，若，，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、填空题 7．已知向量，则 . 8．如图所示，为正三角形，，则 ．    9．已知向量，，若，则 ． 10．在边长为的正方形中，是中点，则 ；若点在线段上运动，则的最小值是 . 三、解答题 11．已知，，，分别求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 12．已知三点，，，P为平面ABC上的一点，且，． (1)求； (2)求的值． 题型二：坐标表示中的垂直问题 策略方法 1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 【题型精练】 一、单选题 1．已知向量．若，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．已知向量，且，则实数（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若实数λ满足，则（    ） A． B． C． D．1 4．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，且，则实数构成的集合是（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，若，则在上的投影为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 7．已知向量，，若，则 . 8．已知向量，若与垂直，请写出满足条件的向量的一个坐标 ． 9．已知向量，且，则 ． 10．已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为 . 三、解答题 11．已知向量，满足且. (1)求的值； (2)若，求实数的值. 12．已知为平面向量，且. (1)若，且与垂直，求实数的值； (2)若，且，求向量的坐标. 题型三：坐标表示中的模长问题 策略方法 求向量模的方法 (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝． (2)若a＝(x，y)，则|a|＝． 【题型精练】 一、单选题 1．已知向量，，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知向量，，则（    ） A． B．5 C． D．4 3．已知平面向量，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 5．已知向量，.若与垂直，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 6．已知平面向量，，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知平面向量，，满足，，且．若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，满足，且，则（    ） A．4 B．5 C． D．2 9．已知平面向量，，，的夹角为60°，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 10．已知向量，，则下列结论正确的是