离心率解题定力与技巧 讲义——2024届高三数学一轮复习

离心率解题策略与技巧 题型一 直来直去型 直接运用公式e=，求椭圆的离心率 例1 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D 解：由题设，，则，，因此选C 变式1 已知椭圆C：的右焦点为，P为椭圆的左顶点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得：，解得， 所以C的离心率为.故选：A. 变式2 若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 解：由、知 ，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选C. 题型二 简单计算型 建立关于的简单方程，注意天然的关系式椭圆：，双曲线：. 例2 已知椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，长轴长、短轴长、焦距成等比数列， 所以，即 得，解得或（舍） 故选：B 变式1.已知双曲线的渐近线，则双曲线的离心率为 . 变式2.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标上，其渐近线为，则双曲线的离心率为 . 题型三 定义型 1. 第一定义（常常出现特殊三角形+赋值法） 例3 设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________. 解： 变式1 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点作长轴的垂线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意易知. ∴ ∴ ∴ ∴（舍去）.故选：A 变式2 已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解：法一：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式， 即，得，解得 （舍去），故选D 法二：解,可以直接解，也可以赋值 变式3 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为C上的一点，且，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，， 在中，由余弦定理得 ， 所以． 故选：B． 2. 第三定义（常常需要对称的转化） 例4 椭圆：的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为 . 【答案】 【详解】由题可得，设.则，又，则. 则. 故答案为： 特殊解法：极限思想，P,Q位置没有具体确定，从而考虑极限位置，P与Q重合于上顶点时，可得 令，则，所以. 变式1：椭圆：的上顶点为A，直线垂直于x轴，与椭圆C交于点P，Q，若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为 . 变式2 （2012·湖北·高三竞赛）已知直线与椭圆C：交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【解析】直线过原点，所以直线与椭圆必有个交点， 设，设，则， 两式相减得 ， 所以，则，所以④正确.    故答案为：①②③ 特殊解法：当为轴时，则.故取. 于是，. 因此，，所以，. 几何背景：椭圆第三定义的推广， 令，则，所以.    变式3（2023上·山东·高三校联考开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，易知， 则，， 又， 所以. 故选：C 总结：第三定义的应用，有点像非对称转化. 1．双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】依题意，设，则， 且， 而， ，， 所以. 故选：A 题型四 几何性质+定义 1.三线+定义 例5已知O为坐标原点，双曲线C：的左右焦点分别为，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则b＝（    ） A． B． C．1 D．2 【解析】设半焦距为