题型13 6类解三角形公式定理解题技巧（海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）

题型13 6类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 射影定理的应用及解题技巧 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10类恒等式的应用及解题技巧 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材料题在高考及模考中出现，需加以练习. 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ． 【详解】因为，所以．故答案为：. 1．（2022·全国·校联考模拟预测）在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积，这里．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的面积最大值为（    ）． A． B． C．10 D．12 2．（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：（其中）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（    ） A． B． C． D．12 3．（2023·海南·校联考模拟预测）（多选）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点．已知在中，，且的面积为，则（    ） A．角A，B，C构成等差数列 B．的周长为36 C．的内切圆面积为 D．边上的中线长度为 技法02 射影定理的应用及解题技巧 三角形中隐藏着许多性质，比如三角形射影定理就能够在解三角形中简化计算过程，但是在考试中解答题不能直接使用，需要推导。不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，在一些小题中，应用三角形射影定理能够快速得到答案，需强化练习 知识迁移 射影定理，， 例2．（全国·高考真题）的内角的对边分别为，若，则 ． 在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝. 又0<B<π，∴B＝. 1．（2023·上海浦东新·统考二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则 ． 2．（全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C；（2）若，，求的周长. 3．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 4．（上海虹口·高三上外附中校考期中）在中，，则（    ） A．，，依次成等差数列 B．，，依次成等差数列 C．，，依次成等差数列 D．，，既成等差数列，也成等比数列 5．（2023·全国·高三专题练习）在中，三个内角、、所对的边分别为、、，若的面积，，，则 . 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 在解三角形中，应用角平分线定理及其变形公式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需重点学习. 知识迁移 角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 例3．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 由余弦定理可得，，因为，解得：， 则计算即可，故答案为：． 1．（2023·全国·高三专题练习）△中，边内上有一点，证明：是的角平分线的充要条件是． 2．（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）在中，角A的角平分线交于点D，且，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则角A的角平分线 .    4．（2023春·安徽滁州·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角A的大小； (2)若，，AD是△ABC的角平分