2023-2024学年湖南省长沙市高三上学期数学模拟练习卷（一）

2023-2024学年湖南省长沙市高三上学期模拟练习卷（一） 一、单选题 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（    ） A． B． C．2 D． 3．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D．20 4．函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．若直线(，)截圆：所得的弦长为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足，面ABC，⊥，若，则该“鞠”的体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且．卢卡斯数列是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中各项系数的和为 C．展开式中第项的系数为 D．展开式中含项的系数为 10．已知函数，下列结论正确的是（     ） A．函数恒满足 B．直线为函数图象的一条对称轴 C．点是函数图象的一个对称中心 D．函数在上为增函数 11．已知圆锥曲线与（，）的公共焦点为，．点M为，的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，则下列说法错误的是（    ） A．的离心率为 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．的渐近线方程为 12．e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 13．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 14．我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有人与钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”则分钱问题中的人数为 ． 15．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则 . 16．已知为奇函数，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 17．已知，，． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 18．已知数列是公差不为的等差数列，前项和为，，是与的等比中项． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，若，求数列前项和为． 19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点． （1）证明：； （2）若，，求二面角的余弦值． 20．乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图， 甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域 .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在 上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在 上的概率为，在 上的概率为；对落点在 上的来球，小明回球的落点在上的概率为 ，在上的概率为 .假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求： （Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望. 21．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆C交于M、N两点． （1）求椭圆C的方程；    （2）若直线与圆相切，证明：为定值 22．已知函数． （1）讨论函数的单调性; （2）若，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】由已知可得出，根据交集运算结合集合的含义，即可得出答案. 【详解】解可得，，所以， ，是偶数集， 所以. 故选：B. 2．B 【分析】利用复数除法运算求得，进而求得. 【详解】， 所以. 故选：B 3．B 【分析】根据向量垂直的坐标表示得，再求向量的模； 【详解】解：由，得，则，即 所以. 故选：B 4．B 【分析】由排除两个选项，再由时，排除一个选项后可得正确选项． 【详解】∵，所以，故排除C，D， 当时，恒成立，排除A， 故选：B． 5．C 【分析】根据对数的运算性质可得，即可得出，则；又，即可得出. 【详解】， 所以，所以. ，所以. 所以有. 故选：C. 6．B 【分析】求出圆的圆心和半径，根据给定弦长可得m，n的关系等式，再借助“1”的妙用即可计算作答. 【详解】圆：，则圆心，半径r=，而直