2024年中考数学第一轮复习（山西卷）培优专题四二次根式

2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷） 第一章 数与式 专题四 二次根式 一、考点精讲 考点一、二次根式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。 2.是二次根式有意义的条件。 考点二、二次根式的性质： （1）是一个非负数；既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以一定是非负数。即为二次根式的非负性。 （2）（）； （3）； （4）的前提条件是，而中的为一切实数；，，是三个重要的非负数。 考点三. 二次根式的运算 1.二次根式的乘法法则：二次根式的乘法法则：二次根式的乘法就是把被开方数相乘，二次根号不变，即。 2.积的算术平方根的性质： （1）； （2）用语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积； （3）运用积的算术平方根的性质，可以将二次根式化简。 3.二次根式的除法法则： （1）语言描述：两个二次根式相除，将它们的被开方数（式）相除，二次根号不变； （2）数学表达式：如果，那么； 4.在二次根式的除法法则中，条件与二次根式乘法的条件是有区别的；因为分母不能为0，所以被除式可以是非负数，而除式只能是正数，否则除法法则不成立。 5.商的算术平方根的性质 （1）商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根； （2）数学表达式：如果，那么； （3）运用商的算术平方根的性质，可以把二次根式化为最简形式。 6.最简二次根式的概念： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式； （2）对最简二次根式的理解： ①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1； ③分母中不含根号； 7.二次根式的乘除混合运算 （1）运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式的乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的； （2）公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用； （3）运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用； 8.在进行二次根式的运算时常见的错误： （1）忽略计算公式的条件； （2）不注意式子的隐含条件； （3）除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； 9.二次根式的化简： （1）如果被开方数是分数或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式； （2）如果被开方数是正数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来； 11.化去分母中的根号： （1）化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式； （2）下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式： ，，，； （3）化去分母中的根号时，分母要先化简；在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式。 12.二次根式的加减法则：二次根式进行加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。 13.二次根式加减法的一般步骤： （1）将每一个二次根式化成最简二次根式； （2）找出其中的被开方数相同的二次根式合并 14.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，要先算括号里面的。 （2）运算过程中一定要注意符合，运算结果一定要化为最简形式。 二、真题及拓展 分析山西三年中考真题，这部分考题的考查形式多样，主要考查二次根式定义，性质及计算，在命题点下拓展其他新的考查形式，形式上年年有创新，年年有新意。从山西近8年真题分析，八年七考，发现命题同样存在继承性，重点内容重点考，所以注意变式训练。 高频考点 1. 二次根式的概念及性质 1．（2019山西中考）下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 创新考法 2 .函数中，自变量x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 3.、若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 且 4、)已知+|x−3y−5|=0，则yx的值为(　　) A. 1 B. −1 C. 2 D. −2 2. 二次根式的运算 1． （2023山西中考）计算的结果为__________. 2． （2022山西中考）计算：的结果为_________. 3． （2021山西中考）计算：____________. 4． （2020山西中考）计算__________. 5． （2018山西中考）计算： ． 6 .（2015山西中