北京市房山区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试 数 学 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数 （A） （B） （C） （D） （2）在三棱柱中，为棱的中点.设，用基底 表示向量，则 （A） （B） （C） （D） （3）两条直线与之间的距离是 （A） （B） （C） （D） （4）设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错 误的是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则 （5）如图，四棱锥中，底面是矩形，，平面， 下列叙述中错误的是 （A）平面 （B） （C） （D）平面平面 （6）已知为抛物线上一点，到的焦点的距离为，到轴 的距离为，则 （A） （B） （C） （D） （7）下列双曲线中以为渐近线的是 （A） （B） （C） （D） （8）已知点，，若直线上存在点，使得，则实数 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （9）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两 条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的 标准方程为 （A） （B） （C） （D） （10）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点， 则下列结论正确的是 （A）存在点，使得 （B）存在点，使得平面 （C）三棱锥的体积是定值 （D）存在点，使得与所成角为 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （11）若直线与直线垂直，则的值为 ． （12）复数的实部是 ． （13）已知圆.则圆的圆心坐标为 ； 若圆与圆内切，则 ． （14）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为 ； 平面与平面夹角的余弦值为 ． （15）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． （16）已知曲线，给出下列四个命题： ①曲线关于轴、轴和原点对称； ②当时，曲线共有四个交点； ③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是； ④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积． 其中所有真命题的序号是 ． 三、解答题共5小题，共70分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （17）（本小题14分） 已知复数． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求； （Ⅲ）若，且是纯虚数，求. （18）（本小题13分） 已知的三个顶点分别为. （Ⅰ）设线段的中点为，求中线所在直线的方程； （Ⅱ）求边上的高线的长. （19）（本小题13分） 已知直线与抛物线相交于两点. （Ⅰ）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求弦长. （20）（本小题15分） 如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，，，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积. （21）（本小题15分） 已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为. （Ⅰ）求椭圆的方程和离心率； （Ⅱ）已知直线与椭圆相切于点，直线交轴于点，为坐标原点， ，求的面积. 参考答案 一、选择题（每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D C B A D C B 二、填空题（每小题5分，共30分） （11） （12） （13） （14） （15）答案不唯一（只需写出中的一个即可） （16）①②③ 三、解答题（共5小题，共70分） （17）（本小题14分） （Ⅰ）. （Ⅱ）. （Ⅲ）设， 则，所以① ， 因为是纯虚数，所以② 由①②联立，解得 或 所以或. （18）（本小题13分） （Ⅰ）设的坐标为，则，即. 所以 ， 则中线所在直线方程为，即. （Ⅱ） . 则直线的方程为，即 中，边上的高线的长就是点到直线的距离, 所以 . （19）（本小题13分） （Ⅰ）由抛物线的方程可知，抛物线开口向右， 所以 抛物线的焦点坐标为，准线方程为. （Ⅱ）将代入，整理得. 设，则，所以 （20）（本小题15分） （Ⅰ）因为是