专题3.2 函数的单调性、极值与最值【七大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题3.2 函数的单调性、极值与最值【七大题型】 【新高考专用】 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 2 【题型2 由函数的单调性求参数】 3 【题型3 利用导数求函数的极值（点）】 3 【题型4 根据极值（点）求参数】 4 【题型5 利用导数求函数的最值】 4 【题型6 已知函数最值求参数】 5 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 5 1、函数的单调性、极值与最值 导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大. 【知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略】 1.确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2.含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 3.根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【知识点2 函数的极值与最值问题的解题思路】 1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 2.根据函数极值求参数的一般思路： 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方 程组，利用待定系数法求解. 3.利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·上海静安·统考二模）函数（　　） A．严格增函数 B．在上是严格增函数，在上是严格减函数 C．严格减函数 D．在上是严格减函数，在上是严格增函数 【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【题型2 由函数的单调性求参数】 【例2】（2023·广西玉林·统考二模）若函数在上为增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【变式2-2】（2023下·重庆·高二校联考期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用导数求函数的极值（点）】 【例3】（2023·全国·模拟预测）函数在区间的极大值、极小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则（    ） A．有一个